Produkt (teoria kategorii)

Z Wikipedii

Niech $C$ będzie kategorią.

Produktem obiektów $A,B \in C$ nazywamy obiekt oznaczany $A \times B$ wraz z morfizmami $p_A \colon A \times B \to A$ i $p_B \colon A \times B \to B$ taki, że dla każdego obiektu $P \in C$ i morfizmów $f \colon P \to A$ , $g \colon P \to B$ istnieje dokładnie jeden morfizm $h \colon P \to A \times B$ taki, że $f = p_A \circ h$ i $g = p_B \circ h$ .

Produkt jest wyznaczony z dokładnością do izomorfizmu: jeżeli $P$ i $Q$ są produktami $A \times B$ , to $P$ jest izomorficzne z $Q$ .

Przykłady:

W kategorii Set produktem zbiorów $A$ i $B$ jest iloczyn kartezjański $A \times B$ wraz z projekcjami $p A ((x, y)) = x$ i $p B ((x, y)) = y$ .
W kategorii Grp produktem jest iloczyn kartezjański grup wraz z projekcjami $p A, p B$ .
W kategorii Top produkt jest wyznaczony przez topologię Tichonowa.
W posecie $(P, \leq)$ traktowanym jako kategoria produktem elementów $a, b$ jest $\inf \{a,b\}$ .

Dualną konstrukcją jest koprodukt: koproduktem obiektów $A,B \in C$ nazywamy obiekt oznaczany $A + B$ (niekiedy też $A \coprod B$ ) wraz z morfizmami $w_A \colon A \to A+B$ i $w_B \colon B \to A+B$ taki, że dla każdego obiektu $P \in C$ i morfizmów $f\colon A \to P$ i $g\colon B \to P$ istnieje dokładnie jeden morfizm $h\colon A+B \to P$ taki, że $f = h \circ w_A$ i $g = h \circ w_B$ .

Z zasady dualności wynika, że również koprodukt jest wyznaczony jednoznacznie z dokładnością do izomorfizmu.

Przykłady:

W kategorii Set koproduktem zbiorów $A$ i $B$ jest suma rozłączna zbiorów $A$ i $B$ wraz z włożeniami $w A (x) = (x,0)$ i $w B (x) = (x,1)$
W posecie $(P, \leq)$ traktowanym jako kategoria koproduktem elementów $a, b$ jest $\sup \{a,b\}$ .