Przedział wielowymiarowy
Z Wikipedii
Spis treści |
Przedział wielowymiarowy (kostka wielowymiarowa) – podzbiór wielowymiarowej przestrzeni euklidesowej będący odpowiednikiem przedziału na prostej.
[edytuj] Definicja formalna
Niech 
będą dowolnymi przedziałami w 
. Przedziałem (k-wymiarowym) przestrzeni 
nazywamy zbiór postaci
.
[edytuj] Uwagi
Z powyższej definicji wynika więc, iż punkt także jest przedziałem k-wymiarowym (k = 0). Wśród przedziałów istnieją zatem tzw. przedziały zdegenerowane, czyli takie dla których Pi dla pewnego 
w powyższej definicji jest punktem.
Często ze względów technicznych przyjmuje się, iż zbiór pusty również jest przedziałem wielowymiarowym (wtedy k = − 1).
[edytuj] Objętość
Objętością (k-wymiarową) przedziału 
nazywamy iloczyn długości przedziałów jednowymiarowych, których iloczyn kartezjański jest rozpatrywanym przedziałem:
,
gdzie przez 
rozumie się długość przedziału jednowymiarowego, zaś przez 
— k-wymiarowego. Jednak dla wygody indeks k zwykle pomija się.
[edytuj] Konwencje
Dla 
przedział Pk może być zarazem nieograniczony jak i zdegenerowany. Wtedy wartość iloczynu definiującego objętość jest nieokreślona, gdyż występują w nim czynniki 0 oraz 
. Przykładem może być prosta 
, która jest nieograniczona i zdegenerowana. Naturalnym wydaje się jednak fakt, iż jej dwuwymiarowa objętość (pole) winno wynosić zero, stąd równości
wydają się być uzasadnione.
Powyższa umowa obowiązuje w całej teorii miary i całki Lebesgue'a, oczywiście pozostałe konwencje działań arytmetycznych na liczbach nieskończonych nie ulegają zmianie w stosunku do tych dotyczących granic funkcji.
[edytuj] Miara zewnętrzna
Zobacz więcej w osobnym artykule: miara zewnętrzna.Dodatkowo przyjmuje się również 
. Ważną jest obserwacja, że tak zdefiniowana objętość jest monotoniczna: dla przedziałów 
mamy
.
Dodatkowe założenie przeliczalnej podaddytywności objętości powoduje, że staje się ona miarą zewnętrzną, stąd niedaleko już do określenia miary zewnętrznej Lebesgue'a.
