Przestrzeń Lindelöfa

Z Wikipedii

Przestrzenie Lindelöfa to rodzaj przestrzeni topologicznych studiowanych w topologii ogólnej.

Spis treści 1 Definicja 2 Uwagi o nazewnictwie i o historii 3 Przykłady 4 Własności 5 Bibliografia 6 Zobacz też

[edytuj] Definicja

Niech (X,τ) będzie przestrzenią topologiczną. Powiemy, że X jest przestrzenią Lindelöfa jeśli z dowolnego pokrycia otwartego tej przestrzeni można wybrać podpokrycie przeliczalne.

Inaczej mówiąc: jeżeli przestrzeń ta jest sumą pewnej rodziny otwartych podzbiorów tej przestrzeni, to można wybrać spośród nich przeliczalnie wiele zbiorów, które w sumie również dadzą całą przestrzeń.

[edytuj] Uwagi o nazewnictwie i o historii

• Jak z wieloma innymi pojęciami w matematyce, nie ma pełnej zgodności co do użycia terminu przestrzeń Lindelöfa. Niektorzy autorzy wymagają dodatkowo aby rozważana przestrzeń była regularna (patrz np. monografia Engelkinga^[1]). Czytelnik literatury topologicznej powinien zawsze upewnić się co do znaczenia terminów stosowanych w danym artykule czy też ksiązce.
• Pojęcie przestrzeni Lindelöfa było wprowadzone w 1929 przez Aleksandrowa i Urysohna^[2], a nazwa tych przestrzeni ma uhonorować fińskiego matematyka Lindelöfa. W 1903 Lindelöf udowodnił że z każdej rodziny otwartych podzbiorów można wybrać podrodzinę przeliczalną o tej samej sumie.

[edytuj] Przykłady

• Zbiór liczb rzeczywistych z naturalną topologią jest przestrzenią Lindelöfa.
• Przestrzeń metryczna jest przestrzenią Lindelöfa wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia drugi aksjomat przeliczalności.
• Każda przestrzeń zwarta jest (oczywiście) przestrzenią Lindelöfa.
• Rozważmy zbiór liczb rzeczywistych wyposażony w topologię τ_S generowaną przez przedziały [a,b) dla a < b. Tak więc {[a,b):a < b} jest bazą topologii τ_S. Przestrzeń topologiczna jest nazywana prostą Sorgenfrey'a. Jest ona przestrzenią Lindelöfa.

[edytuj] Własności

• Dowolna przestrzeń spełniająca drugi aksjomat przeliczalności jest przestrzenią Lindelöfa, lecz nie na odwrót – przestrzeń Lindelöfa nie musi spełniać drugiego aksjomatu przeliczalności. Np prosta Sorgenfrey'a wspomniana powyżej nie ma bazy przeliczalnej.
• Każda regularna przestrzeń Lindelöfa jest normalna.
• Każda domknięta podprzestrzeń przestrzeni Lindelöfa jest też przestrzenią Lindelöfa.
• Otwarta podprzestrzeń przestrzeni Lindelöfa nie musi być przestrzenią Lindelöfa; na przykład, każda przestrzeń topologiczna jest otwartą podprzestrzenią swojej kompaktyfikacji jednopunktowej (uzwarcenia w sensie Aleksandrowa).
• Ciągły obraz przestrzeni Lindelöfa jest przestrzenią Lindelöfa.
• Każda przeliczalnie zwarta przestrzeń Lindelöfa jest zwarta.

[edytuj] Bibliografia

1. ↑ Engelking, Ryszard; General Topology; Helderman, Berlin, 1989. Strona 192. ISBN 3-88538-006-4
2. ↑ Alexandroff, P.; Urysohn, P. Mémoire sur les espaces topologiques compacts dédié à Monsieur D. Egoroff. Verhandelingen Amsterdam 14, Nr. 1, 93 S. (1929)

[edytuj] Zobacz też

• Przegląd zagadnień z zakresu matematyki,
• przestrzeń zwarta,
• aksjomaty przeliczalności.