Przestrzeń Tichonowa

Z Wikipedii

Przestrzeń Tichonowa, przestrzeń i przestrzeń całkowicie regularna to terminy w topologii opisujące tę samą lub bardzo pokrewne własności oddzielania.

Spis treści 1 Definicje 2 Dyskusja nazewnictwa 3 Przykłady 4 Własności 5 Bibliografia 6 Zobacz też

[edytuj] Definicje

Powiemy że w przestrzeni topologicznej X punkty mogą być oddzielane od zbiorów domkniętych przez funkcje ciągłe jeśli

dla każdego zbioru domkniętego i dowolnego punktu można znaleźć funkcję ciągłą taką że f(x) = 0 i f(y) = 1 dla wszystkich punktów .

Przestrzeń topologiczna X jest przestrzenią Tichonowa wtedy i tylko wtedy gdy X jest przestrzenią T₁ w której punkty mogą być oddzielane od zbiorów domkniętych przez funkcje ciągłe.

[edytuj] Dyskusja nazewnictwa

Istnieją pewne niekonsekwencje w użyciu terminów przestrzeń Tichonowa, przestrzeń i przestrzeń całkowicie regularna w literaturze. Na przykład Kuratowski w swojej monografii^[1] definiuje

• przestrzeń całkowicie regularną jako przestrzeń topologiczną w której punkty mogą być oddzielane od zbiorów domkniętych przez funkcje ciągłe, oraz
• przestrzeń Tichonowa jako przestrzeń całkowicie regularną która spełnia także Aksjomat T₁.

Z drugiej strony Engelking definiuje^[2]

• bycie przestrzenią Tichonowa, bycie przestrzenią i bycie przestrzenią całkowicie regularną jako tę samą własność (pokrywającą się z naszym znaczeniem przestrzeni Tichonowa).

Z powodu tych i podobnych rozbieżności, czytelnik literatury topologicznej powinien zawsze upewnić się co do znaczenia terminów stosowanych w danym artykule czy też ksiązce. Wydaje się jednak że terminologia stosowana przez Engelkinga jest najbardziej popularna i my także bedziemy się jej trzymać.

Termin topologia Tichonowa został wprowadzona dla uczczenia rosyjskiego matematyka Tichonowa (ros. Андрей Николаевич Тихонов).

[edytuj] Przykłady

Następujące przestrzenie topologiczne są przestrzeniami Tichonowa:

• przestrzeń liczb rzeczywistych z naturalną topologią, przestrzenie euklidesowe i ogólniej przestrzenie metryczne,
• przestrzenie normalne,
• grupy topologiczne spełniające Aksjomat T₁,
• płaszczyzna Niemyckiego.

Ponieważ płaszczyzna Niemyckiego nie jest przestrzenią normalną, widzimy ze własność nie jest tym samym co własność T₄.

Znane są przykłady przestrzeni T₃ które nie są całkowicie regularne. Na przykład rozważmy podzbiór płaszczyzny z kartezjańskim układem współrzędnych. Na zbiorze M wprowadzamy topologię τ przez określenie bazy otoczeń w każdym punkcie :

• jeśli y > 0, to ,
• jeśli y = 0, to składa się ze wszystkich zbiorów postaci , gdzie B jest zbiorem skończonym,
• , gdzie .

Wtedy (M,τ) jest przestrzenią regularną, ale nie jest przestrzenią Tichonowa.

[edytuj] Własności

• Każda przestrzeń Tichonowa jest przestrzenią T₃.
• Podzbiór przestrzeni Tichonowa traktowany jako przestrzeń topologiczna jest znów przestrzenią Tichonowa. Własność być przestrzenią Tichonowa jest więc własnością dziedziczną.
• Iloczyn kartezjański (z topologią Tichonowa) przestrzeni jest przestrzenią .
• Każda przestrzeń Tichonowa może być zanurzona w zwartą przestrzeń Hausdorffa. Ten fakt jest jednym z głównych źrodeł zainteresowania przestrzeniami , jako że to są dokładnie te przestrzenie które mają uzwarcenia Hausdorffa.

[edytuj] Bibliografia

1. ↑ Kuratowski, Kazimierz; Topology; Volume I. Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa, 1966. Strona 120.
2. ↑ Engelking, Ryszard; General Topology; Helderman, Berlin, 1989. Strona 39. ISBN 3-88538-006-4

[edytuj] Zobacz też

• aksjomaty oddzielania
• przestrzeń regularna (T₃),
• przestrzeń normalna (T₄).