Skręcanie

Z Wikipedii

Skręcanie - w wytrzymałości materiałów stan obciążenia materiału, w którym na materiał działa moment, nazwany momentem skręcającym, działający w płaszczyźnie przekroju poprzecznego materiału. Powoduje on występowanie naprężeń ścinających w płaszczyźnie równoległej do płaszczyzny działania momentu. Skręcanie występuje w prętach, którymi najczęściej są wały. Wyróżniamy 2 podstawowe przypadki skręcania:

Skręcanie czyste - w którym do ścianek poprzecznych jednorodnego i izotropowego pręta pryzmatycznego przyłożone jest obciążenie o gęstości $q = [0; q v y; q v z]$ , które redukuje się do dwóch przeciwnie skierowanych momentów działających w płaszczyźnie ścianek poprzecznych. Rozwiązanie tego przypadku jest możliwe tylko w przypadku, gdy uda nam się znaleźć funkcję spaczenia ф, charakterystyczną dla przekroju pręta, która jest rozwiązaniem układu następująych równań (rozwiązaniem zagadnienia Neumanna):

$\frac {\partial^2 \phi} {\partial y^2} + \frac {\partial^2 \phi} {\partial z^2} = 0$

$(\frac {\partial \phi} {\partial y} - z)m + (\frac {\partial \phi} {\partial z} + y)n = 0$
gdzie m i n są współrzędnymi wektora normalnego do pobocznicy pręta.

Skręcanie proste pręta, które różni się od skręcania "czystego" tym, że obciążenie zastępujemy dwójką przeciwnie skierowanych, równych co do wartości skupionych momentów skręcających. Analityczne rozwiązanie tego przypadku jest praktycznie niemożliwe, dlatego stosujemy zgodnie z zasadą de Saint-Venanta rozwiązanie zagadnienia czystego skręcania

Spis treści

1 Rozwiązanie zagadnienia czystego skręcania
2 Proste skręcanie
- 2.1 Proste skręcanie pręta o przekroju kołowym
- 2.2 Proste skręcanie pręta o przekroju prostokątnym
3 Warunki projektowania
4 Zobacz też

[edytuj] Rozwiązanie zagadnienia czystego skręcania

Rozwiązanie zagadnienia liniowej teorii sprężystości w przypadku czystego skręcania jest następujące:

Tensor naprężeń:

$\sigma_{ij} = \begin{pmatrix} {0} & {\Theta G (\frac {\partial\phi} {\partial y} -z )} & {\Theta G (\frac {\partial\phi} {\partial z} +y )} \\ {\Theta G (\frac {\partial\phi} {\partial y} -z )} & {0} & {0} \\ {\Theta G (\frac {\partial\phi} {\partial z} +y )} & {0} & {0} \end{pmatrix}$

Tensor odkształceń

$\varepsilon_{ij} = \begin{pmatrix} {0} & {\frac {\Theta} {2}(\frac {\partial\phi} {\partial y} -z )} & {\frac {\Theta} {2}(\frac {\partial\phi} {\partial z} +y )} \\ {\frac {\Theta} {2}(\frac {\partial\phi} {\partial y} -z )} & {0} & {0} \\ {\frac {\Theta} {2}(\frac {\partial\phi} {\partial z} +y )} & {0} & {0} \end{pmatrix}$

gdzie:

G - moduł Kirchhoffa

ф - funkcja spaczenia, charakterystyczna dla przekroju

Θ - jednostkowy kąt skręcenia
$\Theta=\frac {d\alpha} {dx}$

α - kąt skręcenia

Wektor przemieszczeń $u = [u; v; w]$

wzdłuż osi pręta

u = Θφ(y; z)

w kierunkach prostopadłych

v = - α(x) z

w = α(x) y

[edytuj] Proste skręcanie

Dla skręcania prostego przyjmujemy, że jednostkowy kąt skręcenia jest równy $\Theta=\frac {M_{x}} {G I_{0}}$
gdzie:

I₀ - biegunowy moment bezwładności $I_{0}=\int \limits_{A}^{}~r^2dA$

M_x - moment skręcający

Iloczyn $G I 0$ zwany jest sztywnością na skręcanie.

[edytuj] Proste skręcanie pręta o przekroju kołowym

Stan naprężeń w przekroju poprzecznym skręcanego preta i rury

Dla przekroju kołowego funkcja spaczenia ф=0.
Biegunowy moment bezwładności przekroju kołowego jest równy $I_{0}=\frac {\pi D^4} {32}$
gdzie D - średnica przekroju.

Naprężenia rozkładają się w przekrojach tak jak widać to na rysunku. Naprężenia wyrażają się wtedy wzorem:
$\tau_{xy}=\tau_{xz}=\frac {M_{x}} {I_{0}} r$
gdzie r - odległość punktu od środka przekroju.
Naprężenia maksymalne występują więc na samym brzegu przekroju i są równe $\tau^{max}=\frac {M_{x}D} {2I_{0}}$
Możemy więc określić wielkość zwaną wskaźnikiem wytrzymałości przekroju na skręcanie $W_{0}=\frac {2I_{0}} {D}$

Stan naprężeń w przekroju cienkościennym

Dla przekrojów cienkościennych stosuje się uproszczony wzór na maksymalne naprężenia styczne. Zakłada się przy nim, że naprężenia rozkładają się równomiernie na całej grubości ścianki.
$\tau^{max}=\frac {M_{x}} {2\delta_{min}A}$
Gdzie:

$δ m i n$ - minimalna grubość ścianki

A - pole obszaru ograniczonego linią środkową przekroju

[edytuj] Proste skręcanie pręta o przekroju prostokątnym

Rozkład naprężeń w przekroju prostokątnym

Rzeczywiste rozwiązanie tego problemu nie jest znane, możemy posługiwać się tylko rozwiązaniami przybliżonymi. Dzieje się tak, ponieważ, w przeciwieństwie do przekroju kołowego, przekrój prostokątny ulega deplanacji. Wyprowadzono przybliżone wzory na maksymalne naprężenia styczne i jednostkowy kąt skręcenia, przy czym występują w nich współczynniki α (nie mający nic wspólnego z kątem skręcenia α) i β, zależne od stosunku dłuższego boku przekroju do krótszego (h/b). Współczynniki te zostały obliczone dla niektórych wartości h/b oraz zostały stablicowane. Niektóre wartości pokazuje tabelka:

h/b	1.0	1.5	1.75	2.0	2.5	3.0	4.0	6.0	8.0	10.0	$\infty$
α	0.208	0.231	0.239	0.246	0.258	0.267	0.282	0.299	0.307	0.313	0.333
β	0.141	0.196	0.214	0.229	0.249	0.263	0.281	0.299	0.307	0.313	0.333

Maksymalne naprężenia styczne - występują zawsze w połowie dłuższego boku przekroju.

$\tau^{max}=\frac {M_{x}} {\alpha hb^2}$

Jednostkowy kąt skręcenia

$\Theta=\frac {M_{x}} {G\beta hb^3}$

[edytuj] Warunki projektowania

Pręty skręcane projektuje się ze względu na możliwość wystąpienia dwóch stanów niebezpiecznych:

graniczny stan użytkowania - skręcenie nie może przekroczyć wartości dopuszczalnej $\alpha =\frac {M_{x} l} {GI_{0}} < \alpha_{dop}$

Lub gdy Moment skręcający M_x nie jest stały w całym pręcie (jest funkcją zmiennej x): $\alpha=\int\limits_0^l~\frac {M_{x}(x)} {GI_{0}}dx < \alpha_{dop}$
(l - długość pręta)