Twierdzenie Banacha-Steinhausa

Z Wikipedii

[edytuj] Sformułowanie

Niech Φ będzie rodziną ciągłych funkcjonałów liniowych określonych na przestrzeni Banacha X, która jest punktowo ograniczona, tj. . Wówczas Φ jest normowo ograniczona, tzn. .

[edytuj] Dowód

Dla każdego określmy . Zbiory te są otwarte, ponieważ , gdzie oznacza ciało ( lub ), nad którym X jest przestrzenią Banacha, zaś oznacza domkniętą kulę o promieniu n w tym ciele. Jej dopełnienie jest otwarte, zatem również jego przeciwobraz przy ciągłym funkcjonale φ będzie otwarty. Wreszcie, otwarty będzie zbiór G_n jako suma teoriomnogościowa wielu takich przeciwobrazów.

Gdyby każdy ze zbiorów G_n był gęsty, to korzystając z twierdzenia Baire'a (założenia są spełnione, bo X jest z definicji zupełna), otrzymalibyśmy, że . Wówczas, biorąc (dowolny) element x tego przecięcia, moglibyśmy znaleźć funkcjonały w Φ, przyjmujące dowolnie w x dowolnie duże wartości - wbrew założeniu.

Zatem dla pewnego n zbiór G_n nie jest gęsty, co oznacza, że jego dopełnienie w X ma niepuste wnętrze. W szczególności, zawiera pewną kulę B. Oznaczmy jej środek i promień przez x₀ i r₀. Teraz, dla dowolnego x, którego norma jest mniejsza niż r₀, oraz dla dowolnego φ mamy , zatem dla każdego φ, co kończy dowód.

To jest tylko zalążek artykułu związanego z matematyką. Jeśli potrafisz, rozbuduj go.