Twierdzenie Zermelo
Z Wikipedii
Twierdzenie Zermelo mówi, że każdy zbiór da się dobrze uporządkować.
[edytuj] Twierdzenie
Dla dowolnego zbioru istnieje taki porządek , że jest on dobrym porządkiem.
[edytuj] Zastosowania
Ważnym wnioskiem z twierdzenia Zermelo jest to, że liczby kardynalne są porównywalne, to znaczy, że dla dowolnych dwóch zbiorów X i Y zachodzi lub (gdzie przez oznaczamy moc zbioru X). Jest tak, gdyż każdy z tych zbiorów można dobrze uporządkować, a zatem zgodnie z faktem o zbiorach dobrze uporządkowanych jeden z nich jest odcinkiem początkowym drugiego, a co za tym idzie ma moc mniejszą lub równą od niego.
Z twierdzenia Zermelo korzysta się również przy dowodzie lematu Kuratowskiego-Zorna.
Warto zaznaczyć, że twierdzenie Zermelo jest równoważne pewnikowi wyboru.