Twierdzenie o zwartości

Z Wikipedii

Twierdzenie o zwartości to twierdzenie mówiące, że nieskończony zbiór zdań rachunku predykatów pierwszego rzędu jest spełnialny, jeśli tylko każdy jego podzbiór skończony jest spełnialny. Równoważnie, jeśli taki zbiór jest sprzeczny, to istnieje jego skończony podzbiór, który jest sprzeczny.

Spis treści 1 Dowody 1.1 Pierwszy dowód, używając twierdzenia o zupełności 1.2 Drugi dowód, używając twierdzenia Łosia 2 Zobacz też

[edytuj] Dowody

[edytuj] Pierwszy dowód, używając twierdzenia o zupełności

Załóżmy, że A nie jest spełnialny, lecz każdy jego skończony podzbiór jest. Z twierdzenia o zupełności wynika, że istnieje dowód zdania sprzecznego z A. Dowód ten jednak wykorzystuje skończenie wiele zdań z A. Ten zbiór zdań nie może być spełnialny (bo udaje się z niego udowodnić sprzeczność) i jest skończony.

[edytuj] Drugi dowód, używając twierdzenia Łosia

Każdy skończony podzbiór jest spełnialny, czyli ma model M_i. Zdefiniujmy

I: = zbiór wszystkich skończonych podbiorów ,

dla dażdego .

Wówczas , wiec rodzina ma własność skończonych przekrojów.

Niech U będzie ultrafiltr taki, że dla każdego . Wtedy ultraprodukt jest modelem zbioru A, bo dla każdego zbiór jest elementem ultrafiltru U.

[edytuj] Zobacz też

• przegląd zagadnień z zakresu matematyki
• logika matematyczna
• teoria modeli.