Widmo (matematyka)

Z Wikipedii

Widmo operatora, w analizie funkcjonalnej, uogólnienie pojęcia widma macierzy (inaczej mówiąc, widma pewnego endomorfizmu skończenie wymiarowej przestrzeni współrzędnych) na dowolne ciągłe i liniowe operatory w przestrzeni Banacha.

[edytuj] Definicja

Ustalmy przestrzeń Banacha X nad ciałem (liczb rzeczywistych lub zespolonych) oraz operator liniowy .
Zbiór σ(T) określony wzorem:

nazywamy widmem (spectrum) operatora T, gdzie I jest operatorem identycznościowym, a oznacza ogół izomorfizmów przestrzeni X na siebie.

Zbiór wszystkich wartości własnych operatora T oznamy przez σ_p(T) i nazywamy widmem punktowym operatora. Widmo punktowe jest podzbiorem widma: .

[edytuj] Własności

• Widmo operatora T jest podzbiorem zwartym zbioru

.

• Jeśli , to

σ(T ^{− 1}) = σ(T) ^{− 1},

co rozumiemy w takim sensie, że jeżeli , to .

• Jeśli jest niezdegenerowaną przestrzenią zespoloną, to .

[edytuj] Zobacz też

• promień spektralny
• twierdzenie spektralne