Wielościan foremny

Z Wikipedii

Wielościan foremny (albo platoński) - jest to wielościan, który spełnia następujące warunki:

ściany są przystającymi wielokątami foremnymi,
w każdym wierzchołku zbiega się jednakowa liczba ścian.
jest bryłą wypukłą (zobacz stella octangula)

Jeśli ściany są wielokątami foremnymi (ale nie przystającymi), i w każdym wierzchołku spotyka się ta sama liczba takich samych ścian w tym samym porządku, to wielościan nazywamy półforemnym albo archimedesowskim. Wielościany foremne zwane są także czasami bryłami platońskimi, gdyż Platon jako pierwszy człowiek odnotował fakt istnienia ściśle określonej liczby tych brył.

Spis treści

1 Wielościany foremne w przestrzeni trójwymiarowej
- 1.1 Dowód
2 Wielościany foremne w przestrzeni czterowymiarowej
3 Wielościany foremne w Rⁿ
4 Zobacz też

[edytuj] Wielościany foremne w przestrzeni trójwymiarowej

W geometrii euklidesowej w przestrzeni trójwymiarowej istnieje tylko pięć wielościanów foremnych.

Nazwa	Nazwa grecka	Ściana
czworościan	tetraedr	trójkąt równoboczny
sześcian	heksaedr	kwadrat
ośmiościan	oktaedr	trójkąt równoboczny
dwunastościan	dodekaedr	pięciokąt foremny
dwudziestościan	ikosaedr	trójkąt równoboczny

[edytuj] Dowód

Zgodnie z twierdzeniem Eulera o wielościanach zachodzi równość

$W+S=K+2\,,$

gdzie W oznacza liczbę wierzchołków wielościanu, S liczbę jego ścian, a K liczbę krawędzi. Ponieważ każda ściana jest n-kątem foremnym, a każda krawędź należy do dwóch ścian, mamy

$S\cdot n=2K\,$ i $S=\frac{2K}{n}.$

Z kolei z każdego wierzchołka wychodzi l krawędzi, z których każda łączy dwa wierzchołki, a zatem

$W\cdot l=2K\,$ skąd $W=\frac{2K}{l}.$

Po podstawieniu do wzoru Eulera

$\frac{2K}{l}+\frac{2K}{n}=K+2$ i dalej $\frac{1}{l}+\frac{1}{n}=\frac{1}{2}+\frac{1}{K} > \frac{1}{2}$ , więc

(n - 2)(l - 2) < 4

Ponieważ l ≥ 3 i n ≥ 3, przez rozpatrzenie przypadków mamy następujące możliwości:

(n-2)*(l-2)	n	l	S	W	K	nazwa
1*1	3	3	4	4	6	czworościan foremny
2*1	4	3	6	8	12	sześcian
1*2	3	4	8	6	12	ośmiościan foremny
1*3	3	5	12	20	30	dwunastościan foremny
3*1	5	3	20	12	30	dwudziestościan foremny

Widać też dualność wielościanów dla zamiany n i l.

[edytuj] Wielościany foremne w przestrzeni czterowymiarowej

Nazwa	Liczba ścian-trójwymiarowych brył	Liczba ścian dwuwymiarowych	Liczba krawędzi	Liczba wierzchołków
foremna 5-komórka	5 czworościanów	10	10	5
foremna 8-komórka	8 sześcianów	24	32	16
foremna 16-komórka	16 czworościanów	32	24	8
foremna 24-komórka	24 ośmiościanów	96	96	24
foremna 120-komórka	120 dwudziestościanów	720	1200	600
foremna 600-komórka	600 czworościanów	1200	720	120

[edytuj] Wielościany foremne w Rⁿ

Nazwa wielościanu Rⁿ, n>4	Liczba n-1-wymiarowych ścian	Liczba k-wymiarowych wielościanów 0≤k≤n-1
n-wymiarowy sympleks foremny	n+1 n-1-wymiarowych sympleksów	$n+1 \choose k+1$ k-wymiarowych sympleksów
n-wymiarowy hipersześcian	$2 n$ n-1-wymiarowych hipersześcianów	${n \choose k} 2^{n-k}$ k-wymiarowych hipersześcianów
foremnan-wymiarowa 2ⁿ komórka	$2 n$ n-1-wymiarowych sympleksów	${n \choose k+1} 2^{k+1}$ k-wymiarowych sympleksów