Wielomian minimalny

Z Wikipedii

Wielomianem minimalnym macierzy kwadratowej $A$ nazywamy wielomian anulujący $ψ(λ)$ tej macierzy, tzn. $ψ(A) = 0$ stopnia najniższego względem $λ$ o współczynniku jeden przy najwyższej potędze $λ$ .

Równoważnie, dla przekształcenia liniowego $f$ zadanego daną macierzą, jest to taki wielomian $ψ(λ)$ , że $ψ(f)$ (interpretując $f n$ jako przekształcenie $f$ złożone ze sobą $n$ razy) przekształca każdy wektor na wektor zerowy, a wielomian $ψ$ jest najniższego możliwego stopnia i ma współczynnik 1 przy najwyższej potędze $λ$ .

Należy wiedzieć, że istnieje tylko jeden wielomian minimalny macierzy kwadratowej $A$ .

Wielomian minimalny $ψ(λ)$ macierzy $A$ jest związany z wielomianem charakterystycznym $φ(λ)$ następującą zależnością:

$\psi (\lambda)={{\varphi (\lambda)}\over {D_{n-1}(\lambda)}}$ ,

przy czym $D n - 1 (λ)$ jest największym wspólnym dzielnikiem wszystkich elementów macierzy dołączonej $[λ E - A] D$ , gdzie $E$ jest macierzą jednostkową o tym samym wymiarze co macierz $A$ .

Powyższa zależność jest przydatna przy wyznaczaniu wielomianu minimalnego.

[edytuj] Algorytm wyznaczania

Algorytm wyznaczania wielomianu minimalnego $ψ(λ)$ macierzy $A$ :

Wyznaczamy wielomian charakterystyczny $\varphi (\lambda)$ macierzy $A$ .
Wyznaczamy macierz dołączoną $[λ E - A] D$ macierzy $A$ .
Znajdujemy $D n - 1 (λ)$ będący największym wspólnym dzielnikiem elementów macierzy dołączonej $[λ E - A] D$ .
Korzystając z wzoru $\psi (\lambda)={{\varphi (\lambda)}\over {D_{n-1}(\lambda)}}$ wyznaczamy szukany wielomian minimalny macierzy $A$ .

[edytuj] Przykład

Wyznaczmy wielomian minimalny macierzy:

$A=\left(\begin{matrix} 1& 0& 0\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1 \end{matrix}\right).$

Wyznaczamy najpierw wielomian charakterystyczny macierzy $A$ :

$\varphi (\lambda)=\left|\begin{matrix} \lambda -1& 0& 0\\ 0& \lambda -1& -1\\ 0& 0& \lambda -1 \end{matrix}\right|=(\lambda -1)^3.$

Następnie obliczamy macierz dołączoną $[λ E - A] D$ macierzy $A$ , więc wyznaczamy dopełnienia algebraiczne elementów macierzy $A$ :

$D_{11}=\left|\begin{matrix} \lambda -1& -1\\ 0&\lambda -1 \end{matrix}\right|=(\lambda -1)^2,$ $D_{12}=- \left|\begin{matrix} 0 & -1\\ 0& \lambda -1 \end{matrix}\right|=0,$ $D_{13}=\left|\begin{matrix} 0& \lambda -1\\ 0& 0 \end{matrix}\right|=0,$

$D_{21}=- \left|\begin{matrix} 0& 0\\ 0&\lambda -1 \end{matrix}\right|=0,$ $D_{22}=\left|\begin{matrix} \lambda -1& 0\\ 0&\lambda -1 \end{matrix}\right|=(\lambda -1)^2,$ $D_{23}=- \left|\begin{matrix} \lambda -1& 0\\ 0& 0 \end{matrix}\right|=0,$

$D_{31}= \left|\begin{matrix} 0& 0\\ \lambda -1& -1 \end{matrix}\right|=0,$ $D_{32}= - \left|\begin{matrix} \lambda -1& 0\\ 0& -1 \end{matrix}\right|=\lambda -1,$ $D_{33}= \left|\begin{matrix} \lambda -1& 0\\ 0& \lambda -1 \end{matrix}\right|=(\lambda -1)^2.$

Aby więc otrzymać macierz dołączoną, należy zastąpić elementy danej macierzy przez ich dopełnienia algebraiczne i dokonać transpozycji. Ostatecznie macierz dołączona $[λ E - A] D$ podanej macierzy $A$ ma postać:

$[\lambda E-A]^{D}=\left(\begin{matrix} (\lambda -1)^2& 0& 0\\ 0&(\lambda -1)^2 & \lambda -1\\ 0& 0& (\lambda -1)^2 \end{matrix}\right).$

Wszystkie elementy macierzy dołączonej są podzielne przez $λ - 1$ zatem ze wzoru: $\psi (\lambda)={{\varphi (\lambda)}\over {D_{n-1}(\lambda)}}$ otrzymujemy, że szukany wielomian minimalny zadanej macierzy $A$ ma postać: $ψ(λ) = (λ - 1) 2$ .