Wikipedysta:Wiktoryn/Matematyka

Z Wikipedii

Spis treści

1 Ciągi
2 KRYT. PIERWIASTKOWE
3 SOFIZMAT
4 ALGEBRA
5 ALGEBRA2
6 ALGEBRA3
7 Ułamki
8 16 IX

[edytuj] Ciągi

$S_n=\frac{a_1+a_n}{2} \cdot n$
$a_n=a_1+(n-1) \cdot r$ Stąd:
$S_n=\frac{a_1+a_1+(n-1) \cdot r}{2} \cdot n=\frac{2a_1+(n-1) \cdot r}{2} \cdot n$
$77-\frac{4+4-(n-1) \cdot 0,2}{2} \cdot n=\frac{1,5+1,5+(n-1) \cdot 0,5}{2} \cdot n$ | mnożymy równanie przez 2
$154-(8-0,2\cdot n+0,2)\cdot n=(3+0,5\cdot n-0,5)\cdot n$
$154 - 8,2 n + 0,2 n 2 = 2,5 n + 0,5 n 2$
$0,3 n 2 + 10,7 n - 154 = 0$ |mnożymy przez 10
$3 n 2 + 107 n - 1540 = 0$

[edytuj] KRYT. PIERWIASTKOWE

$\limsup_{n \to \infty}\sqrt[n]\frac{n^3(\sqrt{2}+(-1)^n)^n}{3^n}=$

$=\limsup_{n \to \infty}\frac{\sqrt[n]{n^3(\sqrt{2}+(-1)^n)^n}}{\sqrt[n]{3^n}}=$

$=\limsup_{n \to \infty}\frac{\sqrt[n]{n^3}\sqrt[n]{(\sqrt{2}+(-1)^n)^n}}{\sqrt[n]{3^n}}=$

$=\limsup_{n \to \infty}\frac{n^{\frac{3}{n}}\cdot(\sqrt{2}+(-1)^n)}{3}=$

$=\frac{(\sqrt{2}+1)}{3}<1$

[edytuj] SOFIZMAT

$1=\sqrt{1}=\sqrt{(-1)*(-1)}=\sqrt{(-1)}*\sqrt{(-1)}$
Korzystając z tego, że $\sqrt{(-1)}=i$
mamy $\sqrt{(-1)} \cdot \sqrt{(-1)}=i*i=i^2=-1$
Czyli $1=\sqrt{1}=\sqrt{(-1) \cdot (-1)}=\sqrt{(-1)}*\sqrt{(-1)}=i*i=i^2=-1 \implies 1=-1$

Błąd w rozumowaniu $\sqrt{(-1)}=i$

POPRAWNE PRZEJŚCIE

To prawda, że $i 2 = - 1$ .

Należy jednak zauważyć, że nie można określić pierwiastka arytmetycznego dla liczb ujemnych. Symbol $\sqrt {-1}$ ma dwie wartości: $\pm i$ . Błąd jest w przyjętej symbolice: $\sqrt{(-1) \cdot (-1)}$ rozumiany jest jako pierwiastek arytmetyczny (mający wartość 1), a prawo $\sqrt{a b}=\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ może oznaczać albo równość pierwiastków arytmetycznych (wówczas musi być $a, b > 0$ ) albo jako równość pierwiastków algebraicznych (wówczas należy pamiętać o wieloznaczności).

Pierwiastkując, mamy $\sqrt{i^2}=\sqrt{(-1)}$
czyli $|i|=\sqrt{(-1)}$

A więc poprawnie winno być: $1=\sqrt{1}=\sqrt{(-1)*(-1)}=\sqrt{(-1)}*\sqrt{(-1)}$

Przechodząc z pierwiastka arytmetycznego do algebraicznego zyskujemy wielowartościowość. Prawa strona może mieć wartość 1 oraz -1, w zależności od tego, czy obierzemy za wartość $\sqrt{-1}$ liczbę $i$ czy $- i$ .

[edytuj] ALGEBRA

Udowodnić równości:

a) $\sum_{k=0}^n r^{k}\cos kx=\frac{1-r\cos x-r^{n-1}\cos (n+1)x+r^{n+2}\cos nx}{1-2r\cos x+r^2}=A$
b) $\sum_{k=0}^n r^{k}\sin kx=\frac{r\sin x-r^{n+1}\sin (n+1)x+r^{n+2}\sin nx}{1-2r\cos x+r^2}=B$

$z = r (cos x + i sin x)$

$A + i B =$

$=\sum_{k=0}^n r^k\cos kx+ir^k\sin kx=$

$=\sum_{k=0}^n (r(\cos x+i\sin x))^k=$

$=\sum_{k=0}^n z^k=$

$=\frac{1-z^{n+1}}{1-z}=$

$=\frac{1-(r(\cos x+i\sin x))^{n+1}}{1-r(\cos x+i\sin x)}=$

$=\frac{1-r^{n+1}(\cos (n+1)x+i\sin (n+1)x)}{1-r(\cos x+i\sin x)}=$

$=\frac{1-r^{n+1}\cos (n+1)x-r^{n+1}i\sin (n+1)x}{1-r\cos x-ir\sin x}*\frac{(1-r\cos x)+ir\sin x}{(1-r\cos x)+ir\sin x}=$

$=\frac{(1-r^{n+1}\cos (n+1)x-ir^{n+1}\sin (n+1)x)(1-r\cos x+ir\sin x)}{(1-r\cos x-ir\sin x)(1-r\cos x+ir\sin x)}=$

$=\frac{1-r\cos x-r^{n+1}\cos (n+1)x+r^{n+2}\cos (n+1)x\cos x+r^{n+2}\sin x \sin (n+1)x}{(1-r\cos x)^2+(r\sin x)^2}+$ $+\frac{ir\sin x-ir^{n+2}\sin x\cos (n+1)x-ir^{n+1}\sin (n+1)x+ir^{n+2}\sin (n+1)x\cos x}{(1-r\cos x)^2+(r\sin x)^2}=$

$=\frac{1-r\cos x-r^{n+1}\cos (n+1)x+r^{n+2}(\cos (n+1)x\cos x+\sin (n+1)x\sin x)}{1-2r\cos x+r^2\cos^{2} x+r^2\sin^{2} x}+$ $+i\frac{r\sin x-r^{n+1}\sin (n+1)x+r^{n+2}(\sin (n+1)x\cos x-\sin x\cos (n+1)x)}{1-2r\cos x+r^2\cos^{2} x+r^2\sin^{2} x}=$

$=\frac{1-r\cos x-r^{n+1}\cos (n+1)x+r^{n+2}(\cos (n+1-1)x)}{1-2r\cos x+r^2(\cos^{2} x+\sin^{2} x)}+$ $+i\frac{r\sin x-r^{n+1}\sin (n+1)x+r^{n+2}(\sin (n+1-1)x}{1-2r\cos x+r^2(\cos^{2} x+\sin^{2} x)}=$

$=\frac{1-r\cos x-r^{n+1}\cos (n+1)x+r^{n+2}\cos nx}{1-2r\cos x+r^2}+i\frac{r\sin x-r^{n+1}\sin (n+1)x+r^{n+2}\sin nx}{1-2r\cos x+r^2}=$

$=A+iB\,\, cnu.$

[edytuj] ALGEBRA2

$\cos^{n} x=\frac{1}{2^n}\sum_{k=0}^n {n \choose k}\cos (n-2k)x$ gdy $x \in \mathbb{R} \wedge n \in \mathbb{N}$

$\cos^{n} x=\frac{[(\cos x + i\sin x) + (\cos x -i\sin x)]^{n}}{2^n}=$
$=\frac{1}{2^n}\sum_{k=0}^n {n \choose k}(\cos x+i\sin x)^{n-k} \cdot (\cos x-i\sin x)^{k}=$
$=\frac{1}{2^n}\sum_{k=0}^n {n \choose k}(\cos (n-k)x+i\sin (n-k)x) \cdot (\cos kx-i\sin kx)=$
$=\frac{1}{2^n}\sum_{k=0}^n {n \choose k}(\cos (n-k)x\cos kx-i\cos (n-k)x\sin kx+i\sin (n-k)x\cos kx+\sin kx\sin (n-k)x)=$
$=\frac{1}{2^n}\sum_{k=0}^n {n \choose k}(\cos (n-2k)x+i\sin (n-2k)x)=$
$=\frac{1}{2^n}\sum_{k=0}^n {n \choose k}\cos (n-2k)x$
(część urojoną możemy pominąć, gdyż liczba $cos n x$ jest rzeczywista, a zatem suma wszystkich składników będących liczbami urojonymi = 0)

[edytuj] ALGEBRA3

$\sin^{n} x=\frac{1}{2^n}\sum_{k=0}^n {n \choose k}(-1)^{n-k}\cos [\frac{n\pi}{2}-(n-2k)]x$ gdy $x \in \mathbb{R} \wedge n \in \mathbb{N}$

$sin^{n} x=\frac{[(\cos x + i\sin x) + (i\sin x-\cos x)]^{n}}{(2i)^n}=$
$=\frac{1}{(2i)^n}\sum_{k=0}^n {n \choose k}(-1)^{n-k}(\cos x-i\sin x)^{n-k} \cdot (\cos x+i\sin x)^{k}=$
$=\frac{1}{(2i)^n}\sum_{k=0}^n {n \choose k}(-1)^{n-k}(\cos (n-k)x-i\sin (n-k)x) \cdot (\cos kx+i\sin kx)=$
$=\frac{1}{(2i)^n}\sum_{k=0}^n {n \choose k}(-1)^{n-k}\cos (n-k)x\cos kx-i\sin (n-k)x\cos kx+i\sin kx\cos (n-k)x+\sin (n-k)x\sin kx)=$
$=\frac{1}{(2i)^n}\sum_{k=0}^n {n \choose k}(-1)^{n-k}\cos (n-2k)x - i\sin (n-2k)x=$
$=\frac{1}{2^n}\sum_{k=0}^n {n \choose k}(-1)^{n-k}\sin (2k-n)x=$
$=\frac{1}{2^n}\sum_{k=0}^n {n \choose k}(-1)^{n-k}\cos [\frac{\pi}{2}+(n-2k)]x=$
$=\frac{1}{2^n}\sum_{k=0}^n {n \choose k}(-1)^{n-k}\cos [\frac{n\pi}{2}+(n-2k)]x$

[edytuj] Ułamki

$x^2 \cdot x^3=x^5$ – dodajemy wykładniki
$\frac{x^7}{x^3}=x^7:x^3=x^4$ – odejmujemy wykładniki
$(x 2) 3 = x 6$ – mnożymy wykładniki
$x 0 = 1$ bo np. $30 = 3 4 - 4 = 3 4 :3 4 = 1$
$(-\frac{4}{3})^3=\frac{(-4)^3}{3^3}=\frac{-64}{27}=-\frac{64}{27}$

$\frac{x^{100} \cdot x^{43} \cdot x^{15}}{(x^5)^{24} \cdot (x^5)^2 \cdot x^{25}}=$
$=\frac{x^{100+43+15}}{x^{5*24+5*2+25}}=$
$=\frac{x^{158}}{x^{155}}=$
$= x 3$

Podstawienie $x=-\frac{4}{3}$
$(-\frac{4}{3})^3=\frac{(-4)^3}{3^3}=\frac{-64}{27}=-\frac{64}{27}$

$\frac{y^{12} \cdot y^{120} \cdot y^{13}}{y^{18} \cdot (y^2)^{50} \cdot y^{24}}=$
$=\frac{y^{12} \cdot y^{120} \cdot y^{13}}{y^{18} \cdot y^{100} \cdot y^{24}}=$
$=\frac{y^{12+120+13}}{y^{18+100+24}}=$
$=\frac{y^{145}}{y^{142}}=y^{145}:y^{142}=$ $= y 3$