Wyznacznik Slatera

Z Wikipedii

Wyznacznik Slatera jest funkcją falową opisującą w przybliżeniu stan układu N fermionów.

Niech $ψ i (α j)$ będzie i-tą funkcją falową opisującą j-tą cząstkę. Wtedy funkcja falowa układu będzie miała postać:

$\psi(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{N}) = \frac{1}{\sqrt{N!}}\left| \begin{matrix} \psi_{1}(\alpha_{1}) && \psi_{1}(\alpha_{2}) && \ldots && \psi_{1}(\alpha_{N})\\ \psi_{2}(\alpha_{1}) && \psi_{2}(\alpha_{2}) && \ldots && \psi_{2}(\alpha_{N})\\ \vdots && \vdots && \ddots && \vdots\\ \psi_{N}(\alpha_{1}) && \psi_{N}(\alpha_{2}) && \ldots && \psi_{N}(\alpha_{N})\\ \end{matrix} \right|$

Powyższy zapis nazywamy właśnie wyznacznikiem Slatera.

[edytuj] Wyprowadzenie

Najprostsza funkcja falowa dla dwóch cząstek to iloczyn funkcji jednocząstkowych:

$\psi(\alpha_{1}, \alpha_{2})=\psi_{1}(\alpha_{1})\psi_{2}(\alpha_{2})\,$

Jednak taka funkcja nie jest prawidłową funkcją falową dla fermionów, bo nie jest antysymetryczna, tzn. nie spełnia

$\psi(\alpha_{1}, \alpha_{2})=-\psi(\alpha_{2}, \alpha_{1}) \,$

To oznacza, że funkcja w postaci iloczynowej nie jest zgodna z regułą Pauliego. Prawidłowa funkcja dwucząstkowa ma postać:

$\psi(\alpha_{1}, \alpha_{2}) = \frac{1}{\sqrt{2}}\{\psi_{1}(\alpha_{1})\psi_{2}(\alpha_{2}) - \psi_{2}(\alpha_{1})\psi_{1}(\alpha_{2})\}$

Ta funkcja jest antysymetryczna, a kiedy obie funkcje jednocząstkowe są takie same, jest równa zero. Oznacza to, że jest zgodna z regułą Pauliego.

Uogólniając to rozumowanie dla dowolnej liczby fermionów, otrzymujemy funkcję, którą da się zapisać w postaci wyznacznika. Widać, że ma ona wymagane własności: jest całkowicie antysymetryczna i znika, gdy dwie funkcje falowe są takie same (bo wtedy otrzymujemy dwie takie same kolumny w wyznaczniku).

Nazwa pochodzi od nazwiska amerykańskiego fizyka Johna C. Slatera (1900-1976).

Funkcję falową w postaci wyznacznika Slatera stosuje się w metodzie obliczeniowej Hartree-Focka.

Zobacz też:

Kategoria: Mechanika kwantowa

We provide Linux to the World

Wyznacznik Slatera

Z Wikipedii

[edytuj] Wyprowadzenie

Views

nawigacja

zmiany

dla edytorów

Szukaj

W innych językach