Zbiór łukowo spójny
Z Wikipedii
Zbiór łukowo spójny (figura, bryła łukowo spójna) – zbiór P w przestrzeni topologicznej, w którego dowolne dwa punkty można połaczyć łukiem zawartym w tym zbiorze.
Intuicyjnie figura/bryła łukowo spójna to taka figura, w której dowolne dwa punkty można połączyć krzywą zawartą w tej figurze.
Należy zwrócić uwagę, że termin łukowa spójność czasami oznacza trochę słabszą własność, należy więc zawsze sprawdzić które znaczenie terminu jest używane. Obydwie własności zgadzają się jednak w klasie przestrzeni Hausdorffa. (Warto zauważyć, że w języku angielskim własności te występują pod różnymi nazwami.)
[edytuj] Definicje
Niech (X,τ) będzie przestrzenią topologiczną.
- Podprzestrzeń przestrzeni X która jest homeomorficzna z odcinkiem domkniętym na prostej nazywamy łukiem.
- Powiemy że zbiór
jest łukowo spójny (ang. arcwise connected) jeśli dla dowolnych dwóch punktów ze zbioru P można znaleźć łuk zawarty w tym zbiorze do którego te punkty należą. - Zbiór jest drogowo spójny (ang. pathwise connected) jeśli dla dowolnych dwóch jego elementów a, b istnieje funkcja ciągła
![f_{a,b}:[0,1]\longrightarrow P](../../../../math/2/f/3/2f3f2bae8526b782d29d4543e6c4fb3f.png)
taka, że 
.
[edytuj] Własności i przykłady
- Każdy zbiór łukowo spójny jest drogowo spójny.
- Jeśli X jest przestrzenią T2, to każdy drogowo spójny podzbiór X jest łukowo spójny.
- Każdy zbior drogowo spójny jest spójny, lecz nie na odwrót, o czym przekonuje przykład.
