Álgebra multilineal

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En la matemática, el álgebra multilineal es una ciencia que generaliza los métodos del álgebra lineal. Los objetos de estudio son los productos tensoriales de espacios vectoriales y las transformaciones multi-lineales entre los espacios.

También es conocida por el uso intensivo de multi-indexar objetos. En el caso elemental tenemos la convención de la suma de Einstein: $X=X^se_s\,$ . Lo cual indica que el objeto X, es la combinación lineal $\sum_{s=1}^{n}X^se_s=X^1e_1+X^2e_2+\cdots+X^ne_n$ , sobre los vectores básicos $e s$ y los $X s$ , que llamamos los componentes de X. n es la dimensión (algebraica) de espacio donde vive X. Por convención llamaremos a estos 1-contra-tensor. Pero también estan los 1-co tensores, es decir mapeos lineales desde el espacio elegido sobre el campo de los escalares. Ellos se escriben como combinación lineal de los funcionales lineales $e s$ , que son transformaciones lineales $V\to\mathbb{K}$ que satisfacen

$e^s(e_{\sigma})={\delta^s}_{\sigma}$

donde (como clasicamente) se esta usando la delta de Kronecker.

Es decir cualquier covector $f\colon V\to\mathbb{K}$ se escribe como

$f=f_se^s\,$ .

Un tensor de rango dos contravariante sería $B=B^{st}e_s\otimes e_t$ . Un tensor de rango dos covariante sería $C=C_{st}e^s\otimes e^t$ . Y un tensor de rango dos mixto sería $D={D^s}_t e_s\otimes e_t$ .

Generalizando lo anterior se escribe ${A^{i_1i_2...i_p}}_{j_1j_2...j_q}$ para representar los componentes de un tensor mixto A, que es p-contravariante y q-covariante. Pero