Cálculo tensorial

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En matemática, un tensor es cierta clase de entidad geométrica, que generaliza los conceptos de escalar, vector y operador lineal de una manera que sea independiente de cualquier Sistema de coordenadas elegido. Los tensores son de importancia en física e ingeniería.

Los tensores pueden ser representados por una matriz de componentes en algunos casos.

Este artículo procura proporcionar una introducción no técnica a la idea de tensores, y proporcionar una introducción a los artículos que describen tratamientos diversos, complementarios de la teoría de tensores detalladamente.

[editar] Trasfondo

La palabra la introdujo William Rowan Hamilton en 1846, pero la usó para lo que actualmente se conoce como módulo. La palabra se usó en su acepción actual por Waldemar Voigt en 1899.

La notación fue desarrollada alrededor de 1890 por Gregorio Ricci-Curbastro bajo el título de geometría diferencial absoluta, y lo hizo accesible a muchos matemáticos con la publicación del texto clásico de Tullio Levi-Civita el cálculo diferencial absoluto en 1900 (en italiano; con posteriores traducciones). La aceptación más amplia del cálculo tensorial se alcanzó con la introducción de la teoría de la relatividad general por parte de Einstein alrededor de 1915. La relatividad general se formula totalmente en el lenguaje de los tensores, que Einstein había aprendido del mismo Levi-Civita con gran dificultad. Pero los tensores se utilizan también dentro de otros campos por ejemplo la mecánica de medios continuos (véase tensor de tensiones o elasticidad lineal).

Nótese que la palabra "tensor" se utiliza a menudo como abreviatura de campo tensorial, que es un valor tensorial definido en cada punto en una variedad. Para entender los campos tensoriales, se necesita primero entender la idea básica de tensor.

[editar] La elección del enfoque

Hay dos maneras de acercarse a la definición de tensor:

La manera usual de la física de definir los tensores, en términos de objetos cuyas componentes se transforman según ciertas reglas, introduciendo la idea de transformaciones covariantes o contravariantes.

La manera usual de la matemática, que implica definir ciertos espacios vectoriales sin fijar cualesquiera conjuntos de coordenadas hasta que las bases se introduzcan por necesidad.

Los vectores covariantes, por ejemplo, también se describen como uno-formas, o como los elementos del espacio dual.

[editar] Ejemplos

No todas las relaciones en la naturaleza son lineales, pero la mayoría es diferenciable y así se pueden aproximar localmente con sumas de funciones multilineales. Así la mayoría de las cantidades en las ciencias físicas se pueden expresar provechosamente como tensores.

Como ejemplo simple, considere una nave en el agua. Deseamos describir su respuesta a una fuerza aplicada. La fuerza es un vector, y la nave responderá con una aceleración, que es también un vector. La aceleración en general no estará en la misma dirección que la fuerza, debido a la forma particular del cuerpo de la nave. Sin embargo, resulta que la relación entre la fuerza y la aceleración es lineal. Tal relación es descrita por un tensor del tipo (1, 1) (es decir, que transforma un vector en otro vector). El tensor se puede representar como una matriz que cuando es multiplicada por un vector, dé lugar a otro vector. Así como los números que representan un vector cambiarán si uno cambia el conjunto de coordenadas, los números en la matriz que representa el tensor también cambiarán cuando se cambie el conjunto de coordenadas.

En la ingeniería, las tensiones en el interior de un sólido rígido o líquido también son descritas por un tensor; la palabra "tensor" viene del latin "tensus", pasado participio de estirar. Si un elemento superficial particular dentro del material se selecciona, el material en un lado de la superficie aplicará una fuerza en el otro lado. En general, esta fuerza no será ortogonal a la superficie, sino que dependerá de la orientación de la superficie de una manera lineal. Esto es descrito por un tensor del tipo (2, 0), o más exactamente por un campo tensorial del tipo (2, 0) puesto que las tensiones pueden cambiar punto a punto.

Algunos ejemplos bien conocidos de tensores en geometría son las formas cuadráticas, y el tensor de curvatura. Los ejemplos de tensores físicos son tensor de energía-momento y el tensor de polarización.

Las cantidades geométricas y físicas pueden ser categorizadas considerando los grados de libertad inherentes a su descripción. Las cantidades escalares son las que se pueden representar por un solo número --- rapidez, masa, temperatura, por ejemplo. Hay también cantidades tipo vector, por ejemplo fuerza, que requieren una lista de números para su descripción. Finalmente, las cantidades tales como formas cuadráticas requieren naturalmente una matríz con índices múltiples para su representación. Estas últimas cantidades se pueden concebir solamente como tensores.

Realmente, la noción tensorial es absolutamente general, y se aplica a todos los ejemplos antedichos; los escalares y los vectores son clases especiales de tensores. La propiedad que distingue un escalar de un vector, y distingue ambos de una cantidad tensorial más general es el número de índices en la matriz de la representación. Este número se llama el rango de un tensor. Así, los escalares son los tensores de rango cero (sin índices), y los vectores son los tensores de rango uno.

[editar] Los enfoques, detalladamente

Hay enfoques equivalentes para visualizar y trabajar con los tensores; que el contenido es realmente igual puede llegar a ser evidente solamente con una cierta familiaridad con el material.

el enfoque clásico

El enfoque clásico visualiza los tensores como matrices multidimensionales que son generalizaciones n-dimensionales de los escalares, vectores de 1 dimensión y matrices de 2 dimensiones. Los "componentes" tensoriales son los índices del arreglo.

Esta idea puede ser generalizada aún más a los campos tensoriales, donde los elementos del tensor son funciones, o aún diferenciales.

La teoría del campo tensorial se puede ver, grosso modo, en este enfoque, como otra extensión de la idea del Jacobiano.

el enfoque (libre de componentes) moderno: El enfoque moderno visualiza los tensores inicialmente como objetos abstractos, expresando un cierto tipo definido de concepto multi-lineal. Sus propiedades bien conocidas se pueden derivar de sus definiciones, como funciones lineales o aún más generales; y las reglas para las manipulaciones de tensores se presentan como extensión del álgebra lineal al álgebra multilineal.

Este tratamiento ha substituido en gran parte el tratamiento basado en componentes para el estudio avanzado, a la manera en que el tratamiento libre de componentes más moderno de vectores substituye el tratamiento basado en componentes tradicional aunque el tratamiento basado en componentes se haya utilizado para proporcionar una motivación elemental para el concepto de un vector. Se podría decir que el lema es 'tensores son elementos de un cierto espacio tensorial'.

el tratamiento intermedio de tensores procura tender un puente sobre los dos extremos, y mostrar sus relaciones.

En el fondo se expresa el mismo contenido de cómputo, de ambas maneras. Vea glosario de la teoría tensorial para un listado de términos técnicos.

[editar] Densidades tensoriales

Es también posible que un campo tensorial tenga una "densidad". Un tensor con la densidad r se transforma como un tensor ordinario bajo transformaciones de coordenadas, excepto que también es multiplicado por el determinante del Jacobiano a la potencia r-ésima. Esto se explica mejor, quizás, con los fibrados vectoriales: donde el fibrado determinante del fibrado tangente es un fibrado de línea que se puede utilizar para torcer otros fibrados r veces.

[editar] Covarianza y Contravarianza

Para acercarnos al concepto de covarianza y contravarianza primero unas definiciones.

Aceptemos inicialmente las siguientes definiciones.

Un tensor contravariante de segundo orden es aquel que se transforma según:

${A'}^{ij} = \frac{ \partial x^{\prime}_i }{\partial x_k} \frac{ \partial x^{\prime}_j }{\partial x_l} A^{kl}$ (1)

Un tensor covariante de segundo orden es aquel que se transforma según:

$C^{\prime}_{ij} = \frac{ \partial x_k}{\partial x^{\prime}_i} \frac{ \partial x_l}{\partial x^{\prime}_{j}} C_{kl}$ (2)

Por un momento, ignoremos la posición de los índices. Sea $x k$ una base cualquiera del espacio y aplicamos una transformación de coordenadas que nos lleva a la nueva base ${x^\prime_k}$ . Supongamos que lo queremos hacer mediante una transformación ortogonal para simplificar el cálculo.

Por tratarse de una transformación ortogonal la longitud no se ve afectada. Es decir, la cantidad $A_i x_i \equiv A^{\prime}_j x^{\prime}_j$ es un invariante.

Debe existir una cierta relación entre la base antigua y la base nueva, que vendrá dada por una matriz de cambio 'O' que nos permite recuperar las coordenadas de la base antigua con respecto a las de la nueva base. Esto se elige así por convenio.

$x_i = O_{ij} x^{\prime}_j$

Como se trata de una transformación ortogonal ( $O^{-1} \equiv O^T$ ), el cambio inverso es:

$x^{\prime}_j = O_{ji} x_i$

Esto significa que el vector 'A' en la nueva base vendrá dado por:

$A_i = O_{ji} A^{\prime}_j$

O lo que es lo mismo, $A = O^{T} A^\prime$ o bien $A^\prime = O A$

Una vez ha quedado claro como vamos a transformar nuestro vector pasemos a los tensores. Supongamos que tenemos un n-tensor (tensor de orden n) $T_{i_1 \ldots i_n}$ este objeto se transforma como el producto de n vectores. Esto significa que existirá una relación del tipo:

$T_{j_1, ..., j_n} = O_{j_1 i_1} ... O_{j_n i_n} T_{i_1, ..., i_n}$ (3)

Utilizando esta notación, las dos ecuaciones del principio quedan como sigue:

$A^{\prime}_{j_1 j_2} = O_{j_1 i_1} O_{j_2 i_2} A_{i_1 i_2}$

$C^{\prime}_{j_1 j_2} = O_{i_1 j_1} O_{i_2 j_2} C_{i_1 i_2}$

Es decir, un n-tensor se comporta como el vector A pero de forma generalizada a n dimensiones, ahora la matriz de cambio es un producto de n matrices que nos dicen exactamente como se transforma nuestro n-tensor.

Un ejemplo simple de n-tensor es justamente el producto de n vectores, $T_{i_1,...,i_n} = A_{i_1} B_{i_2} ... X_{i_n}$ ya que basándonos en lo que escribí antes para el vector A esto cumple exactamente lo que he descrito para el n-tensor.

El primero de los dos 2-tensores (A) se transforma como el segundo (C) pero usando la matriz traspuesta en vez de la matriz 'O' original (si no estuviéramos en coordenadas ortogonales, la matriz sería inversa en vez de traspuesta). Entonces nos topamos con un problema de notación al estar llamando igual a dos cosas diferentes. Para salvar este inconveniente a los tensores del tipo:

$A'^{j_1 j_2} = O_{j_1 i_1} O_{j_2 i_2} A^{i_1 i_2}$

los llamaremos tensores contravariantes porque se transforman con la matriz inversa y escribiremos los índices de sus componentes arriba a modo de superíndice.

A los tensores que se transforman con la matriz original los llamaremos covariantes y los índices los escribiremos debajo.

En el espacio euclídeo el tensor métrico $g i j$ es la matriz identidad. Por lo tanto, se verifica trivialmente que $g i j = g j i$ y por tanto tensores covariantes y contravariantes utilizan la misma matriz de transformación de modo que no es necesario hacer distinción alguna.