Bhaskara I

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Bhaskara o Bhaskara I, (c. 600 - c. 680) fue un matemático indio del siglo VII, que fue aparentemente el primero en escribir números en el sistema decimal hindu-arábigo con un círculo para el cero y que dio una extraordinaria y única aproximación racional de la función seno en su comentario sobre el trabajo de Aryabhata.

[editar] Biografía

Se sabe poco sobre la vida de Bhaskara. Se supone que nació cerca de Saurashtra en Gujarat y murió en Ashmaka. Su padre le educó en Astronomía. Bhaskara está considerado el alumno más importante de la escuela astronómica de Aryabhata.

[editar] Representación de números

La contribución matemática probablemente más importante de Bhaskara trata de la representación de los números en un sistema posicional. Las primeras representaciones posicionales fueron conocidas de astrónomos indios alrededor del año 500. Sin embargo, los números no se escribían en cifras, sino en palabras o alegorías y se organizaban en versos. Por ejemplo, al número 1 se le conocía como luna, ya que sólo en existe una; el número 2 estaba representado por alas, gemelos o ojos, ya que siempre son parejas; al número 5 se le conocía por los (5) sentidos. Similar a nuestro sistema decimal actual, estas palabras estaban alineadas de manera que cada número asigna el factor de la potencia décima correspondiente a su posición, sólo que en orden inverso: las potencias más altas a la derecha de las potencias más bajas. Por ejemplo,

1052 = alas sentidos vacío luna.

¿Por qué los científicos indios usaron palabras en vez de los ya conocidos números Brahmi? Los textos estaban escritos en sánscrito, el "idioma de los dioses", que tenía un papel similar al latín en Europa. El lenguaje hablado lo formaban dialectos bastante diferentes. Se supone que los números Brahmi que se usaban en la vida a diario estaban considerados como demasiado vulgares para los dioses (Ifrah 2000, p. 431).

Alrededor del año 510, Aryabhata usó un método diferente ("código Aryabhata") asignando sílabas a los números. Su sistema de numeración tenía la base 100 y no 10 (Ifrah 2000, p. 449). En su comentario sobre Aryabhatiya de Aryabhata en el 629, Bhaskara modificó este sistema a un verdadero sistema posicional con base 10, conteniendo un cero. Usó palabras adecuadas definidas para los números, comenzó con los unos, después los dieces, etc. Por ejemplo, escribió el número 4.320.000 como

viyat	ambara	akasha	sunya	yama	rama	veda
cielo	atmósfera	éter	vacío	pareja primordial (Yama y Yami)	Rāma	Veda
0	0	0	0	2	3	4

Su sistema es verdaderamente posicional, ya que las mismas palabras que representan por ejemplo el número 4 (como veda), pueden también usarse para representar los valores 40 o 400 (van der Waerden 1966, p. 90). Bastante extraordinariamente, a menudo explica un número dado en este sistema, usando la fórmula ankair api ("en cifras se lee"), repitiendolo escrito con los primeros nueve números Brahmi, usando un pequeño círculo para el cero (Ifrah 2000, p. 415). Al contrario que su sistema de números con palabras, sin embargo, las cifras están escritas en orden de valor descendente de izquierda a derecha, exactamente a nuestro sistema actual. Por tanto, al menos desde el 629 el sistema decimal es definitivamente conocido para los científicos indios. Se supone que Bhaskara no lo inventó, pero fue el primero en no tener remordimientos en usar los números Brahmi en una contribución científica en sánscrito.

No obstante, el primero en calcular con el cero como un número y usar los números negativos, fue el contemporáneo de Bhaskara Brahmagupta.

[editar] Otras contribuciones

Bhaskara escribió tres artículos astronómicos. En el año 629 comentó el Aryabhatiya, escrito en versos, sobre astronomía matemática. Los comentarios se referían exactamente a los 33 versos que trataban sobre matemáticas. Allí consideró equaciones variables y fórmulas trigonométricas.

Su trabajo Mahabhaskariya se divide en ocho capítulos sobre astronomía matemática. En el capítulo 7, da una notable fórmula de aproximación para el $sin x$ , que es

$\sin x \approx \frac{16x (\pi - x)}{5 \pi^2 - 4x (\pi - x)}, \qquad (0 \leq x \leq \frac{\pi}{2} )$

que asigna a Aryabhata. Presenta un error relativo de menos del 1,9% (la mayor desviación $\frac{16}{5\pi} - 1 \approx 1.859\%$ en $x = 0$ ). Además da relaciones entre el seno y el coseno, así como entre el seno de un ángulo de $>90^\circ$ , $>180^\circ$ o $>270^\circ$ al seno de un ángulo de $<90^\circ$ . Partes del Mahabhaskariya fueron más tarde traducidas al árabe.

Bhaskara también se ocupó con la aserción: Si $p$ es un número primo, entonces $1 + (p - 1)!$ es divisible por $p$ . Fue demostrado más tarde por Al-Haitham, también mencionado por Fibonacci y es ahora conocido como teorema de Wilson.

Además, Bhaskara declaró teoremas sobre las soluciones de las hoy llamadas ecuaciones de Pell. Por ejemplo, planteó el problema: "Dime, O matemático, cuál es el cuadrado que multiplicado por 8 se convierte - junto con la unidad - en un cuadrado?" En notación moderna, preguntó por las soluciones de la ecuación de Pell $8 x 2 + 1 = y 2$ . Tiene la solución simple $x = 1$ , $y = 3$ , o acortado $(x, y) = (1,3)$ , a partir de las cuales se pueden construir más soluciones, por ejemplo, $(x, y) = (6,17)$ .

[editar] Enlaces externos

The MacTutor History of Mathematics archive - Bhaskara I

[editar] Referencias

H.-W. Alten, A. Djafari Naini, M. Folkerts, H. Schlosser, K.-H. Schlote, H. Wußing: 4000 Jahre Algebra. Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2003 ISBN 3-540-43554-9, §3.2.1
S. Gottwald, H.-J. Ilgauds, K.-H. Schlote (Hrsg.): Lexikon bedeutender Mathematiker. Verlag Harri Thun, Frankfurt a. M. 1990 ISBN 3-8171-1164-9
G. Ifrah: The Universal History of Numbers. John Wiley & Sons, New York 2000 ISBN 0-471-39340-1
B. van der Waerden: Erwachende Wissenschaft. Ägyptische, babylonische und griechische Mathematik. Birkäuser-Verlag Basel Stuttgart 1966