Función trigonométrica

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Todas las funciones trigonométricas de un ángulo θ pueden ser construidas geométricamente en relación a un círculo que representa la unidad, centrado en O.

Animación de la función seno

En matemática, las funciones trigonométricas son funciones de un ángulo; tienen importancia en el estudio de la geometría de los triángulos y en la representación de fenòmenos periódicos, entre otras muchas aplicaciones. Se las define comúnmente como el cociente entre dos lados de un triángulo rectángulo que contiene al ángulo, y pueden definirse igualmente como la longitud de varios segmentos partiendo de un círculo que represente a la unidad.Definiciones más modernas las expresan como series infinitas o como solución de ciertas ecuaciones diferenciales , permitiendo su extensión a valores positivos y negativos, e incluso a números complejos. Todos estos aspectos serán desarrollados seguidamente.

El estudio de las funciones trigonométricas se remonta a la época de Babilonia , y muchos de los fundamentos del tema fueron desarrollados por matemàticos de la antigua Grecia, de la India y estudiosos árabes.

Según el uso moderno, existen seis funciones trigonoméricas bésicas, las que se tabulan abajo junto a las ecuaciones que las relacionan. Especialmente en el caso de las últimas cuatro, tales relaciones se toman como definición de las funciones, pero es posible definirlas geométricamente o por otros medios y luego encontrar estas relaciones. Una pocas funciones màs fueron comunes históricamente y aparecieron en las primeras tablas, pero no son prácticamente utilizadas actualmente, por ejemplo el verseno (1 − cos θ) y la exsecante(sec θ − 1).

Función	Abreviatura	Relación
Seno	sin	$\sin \theta = \cos \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \,$
Coseno	cos	$\cos \theta = \sin \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right)\,$
Tangente	tan	$\tan \theta = \frac{1}{\cot \theta} = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \cot \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \,$
Cotangente	cot	$\cot \theta = \frac{1}{\tan \theta} = \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = \tan \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \,$
Secante	sec	$\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta} = \csc \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \,$
Cosecante	csc (o cosec)	$\csc \theta =\frac{1}{\sin \theta} = \sec \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \,$

[editar] Historia

El primer uso de la función seno aparece en el Sulba Sutras escrito en India desde el Siglo VIII AC hasta el Siglo VI AC . Las funciones trigonométricas fueron estudiadas luego por Hiparco de Nicea (180-125 AC) ,Aryabhata (476–550), Varahamihira, Brahmagupta, Muḥammad ibn Mūsā al-Ḵwārizmī, Abu'l-Wafa, Omar Khayyam, Bhaskara II, Nasir al-Din Tusi, Regiomontanus (1464), Ghiyath al-Kashi y Ulugh Beg (Siglo XIV), Madhava (c. 1400), Rheticus , y el alumno de éste, Valentin Otho. La obra de Leonhard Euler Introductio in analysin infinitorum (1748) fue la que estableció el tratamiento analítico de las funciones trigonométricas en Europa. definiéndolas como series infinitas presentadas en las llamadas "Fórmulas de Euler" .

La noción de que debería existir alguna correspondencia estándar entre la longitud de los lados de un triángulo siguió rápidamente a la idea de que triángulos similares mantienen la misma proporción entre sus lados. Esto es, que para cualquier triángulo similar la relación entre la hipotenusa y otro de los lados permanece igual. Si la hipotenusa es el doble de larga, así serán los catetos. Justamente estas proporciones son las que expresan las funciones trigonométricas.

[editar] Definiciones del triángulo rectángulo

Para definir las funciones trigonométricas del ángulo A , se parte de un triángulo rectángulo arbitrario que contiene a este ángulo:

Usamos los siguientes nombres para los lados:

La hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto, definido también como el lado de mayor longitud de un triángulo rectángulo, en este caso h.
El cateto opuesto es el lado opuesto al ángulo que nos interesa, en este caso a.
El cateto adyacente es el lado determinado por el ángulo respecto del cual queremos determinar las funciones trigonométricas y el ángulo recto, en este caso b.

Todos los triángulos considerados se encuentran en el plano Euclidiano, por lo que la suma de sus ángulos internos es igual a π radian (o 180°). En consecuencia, en cualquier triángulo rectángulo los ángulos no rectos se encuentran entre 0 y π/2 radian. Las definiciones que se dan a continuación definen estrictamente las funciones trigonométricas para ángulos dentro de ese rango. Mediante el círculo unitario, y utilizando ciertas simetrías que llevan a funciones periódicas, podemos extender los argumentos a la serie completa de números reales.

1) El seno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto sobre la longitud de la hipotenusa. En este caso:

$\sin A = \frac {\textrm{opuesto}} {\textrm{hipotenusa}} = \frac {a} {h}.$

Nótese que el valor de esta relación no depende del triángulo rectángulo específico que elijamos, siempre que contenga el ángulo A , en cuyo caso se trata de triángulos similares.

2) El coseno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la longitud de la hipotenusa:

$\cos A = \frac {\textrm{adyacente}} {\textrm{hipotenusa}} = \frac {b} {h}.$