Coseno

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Representación de la función coseno, denominada cosinusoide.

En trigonometría el coseno (abreviado cos) se define como la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa. O también como la abscisa correspondiente a un punto que pertenece a una circunferencia unitaria centrada en el origen.

En matemáticas el coseno es la función obtenida al hacer variar la razón mencionada, siendo una de las funciones trascendentes.

Tabla de contenidos

1 Coseno de una suma o resta
2 Coseno de un angulo doble
3 Coseno del angulo medio
4 Transformación de una suma de cosenos en producto
5 Derivada del Coseno
6 Véase también

[editar] Coseno de una suma o resta

Sean $φ$ y $\theta \in \mathbb{R}$ Entonces:

$\cos \left(\phi + \theta \right)=cos (\phi)cos(\theta)-sin(\phi)sin(\theta)$

Si hacemos

$\cos \left(\phi +(- \theta \right))=cos (\phi)cos(-\theta)-sin(\phi)sin(-\theta)$

obtenemos la resta. Como el coseno es par, el signo no importa y como el seno es impar, el signo sale.

$\cos \left(\phi -\theta \right)=cos (\phi)cos(\theta)+sin(\phi)sin(\theta)$

[editar] Coseno de un angulo doble

Tenemos que

$\cos \left(\phi + \theta \right)=cos (\phi)cos(\theta)-sin(\phi)sin(\theta)$

Hagamos $θ = φ$ Entonces

$cos \left(2\phi \right) =cos^2(\phi)-sin^2(\phi)$

[editar] Coseno del angulo medio

Nótese que con un simple manejo algebraico podemos obtener la fórmula del coseno del ángulo medio. Sea $\alpha, \phi \in \mathbb{R}$

Como $cos \left(2\phi \right) =cos^2(\phi)-sin^2(\phi)$

la podemos escribir como

$cos \left(2\phi \right) =1-2sin^2(\phi)$

Sea $\phi=\frac{\alpha}{2}$

Entonces obtenemos

$|cos(\frac{\alpha}{2})|=\sqrt{\frac{cos(\alpha)+1}{2}}$

y analizando los signos de la expresión para cada cuadrante, concluimos que:

$cos(\frac{\alpha}{2})=\sqrt{\frac{cos(\alpha)+1}{2}}$

[editar] Transformación de una suma de cosenos en producto

$Cos(\phi)+Cos(\theta)=2cos(\frac{\phi + \theta}{2})cos(\frac{\phi - \theta}{2})$

Demostración

Tomemos $\alpha\,\beta\,\theta,\phi \in\ \mathbb{R}$

Entonces

$Cos \left(\alpha +\beta \right)+Cos(\alpha -\beta)=cos (\alpha)cos(\beta)-sin(\alpha)sin(\alpha)+cos (\alpha)cos(\beta)+sin(\alpha)sin(\beta)$

$Cos \left(\alpha +\beta \right)+Cos(\alpha -\beta)=2cos (\alpha)cos(\beta)$

Hagamos $θ = α + β$ y $φ = α - β$

Entonces, resolviendo el sistema se tiene que

$\alpha\ =\frac{\theta + \phi}{2}$

$\beta\ =\frac{\theta - \phi}{2}$

Reemplazando se obtiene

$Cos \left(\phi \right)+Cos(\theta)=2cos(\frac{\theta + \phi}{2})cos(\frac{\theta - \phi}{2})$

Análogamente se demuestra para

$Cos(\phi)-Cos(\theta)=-2Sin(\frac{\phi + \theta}{2})Sin(\frac{\theta - \phi}{2})$

[editar] Derivada del Coseno

Según la definición de derivada:

$f'(x)=\lim_{h\rightarrow0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$

lo que es

$cos'(x)=\lim_{h\rightarrow0} \frac{cos(x + h) - cos(x)}{h}$

Entonces, usando las fórmulas anteriormente señaladas, se tiene que

$cos'(x)=\lim_{h\rightarrow0} \frac{cos(x)*cos(h)-sin(x)*sin(h)- cos(x)}{h}$

Factorizando

$cos'(x)=\lim_{h\rightarrow0} \frac{cos(x)*((cos(h)-1))-sin(x)*sin(h)}{h}$

y resolviendo obtenemos

$cos' \left(x \right)= -sin(x)$

[editar] Véase también

Obtenido de "http://es.wikipedia.org../../../c/o/s/Coseno.html"

Categoría: Trigonometría

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Tabla de contenidos

[editar] Coseno de una suma o resta

[editar] Coseno de un angulo doble

[editar] Coseno del angulo medio

[editar] Transformación de una suma de cosenos en producto

[editar] Derivada del Coseno

[editar] Véase también

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