Trigonometría

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La trigonometría (del griego, la medición de los triángulos) es una rama de las matemáticas que estudia los ángulos y los lados de un Triángulo rectángulo y las relaciones entre ellos.

Posee muchas aplicaciones: las técnicas de triangulación, por ejemplo, son usadas en astronomía para medir distancias a estrellas próximas, en geografía para medir distancias entre puntos geográficos, y en sistemas de navegación por satélites.

Tabla de contenidos

1 Unidades angulares
2 Funciones trigonométricas
- 2.1 Otras funciones trigonométricas
3 Funciones trigonométricas inversas
4 Valor de las funciones trigonométricas
5 Sentido de las funciones trigonométricas
6 Representación gráfica
7 Identidades trigonométricas
8 Función tangente
9 Véase también

[editar] Unidades angulares

En la medida de ángulos, y por tanto en trigonometría, se emplean tres unidades, si bien la más utilizada en la vida cotidiana es el Grado sexagesimal, en matemáticas es el Radián la más utilizada, y se define como la unidad natural para medir ángulos, el Grado centesimal se desarrolló como la unidad más próximo al sistema decimal, pero su uso prácticamente es inexistente.

Radián: unidad angular natural en trigonometría, será la que aquí utilicemos, en una circunferencia completa hay

2π

radianes.

Grado sexagesimal: unidad angular que divide una circunferencia en 360º.

Grado centesimal: unidad angular que divide la circunferencia en 400 grados centesimales.

[editar] Funciones trigonométricas

El triángulo ABC es un triángulo rectángulo en C, lo usaremos para definir las funciones seno, coseno y tangente.

El seno (abreviado como sen o sin) es la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa,

$\sin(\alpha)= \frac{a}{c}$

El coseno (abreviado como cos) es la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa,

$\cos(\alpha)= \frac{b}{c}$

La tangente (abreviado como tan) es la razón entre el cateto opuesto y el adyacente,

$\tan(\alpha)= \frac{a}{b}$

[editar] Otras funciones trigonométricas

Se definen las funciones cosecante, secante y cotangente, como las funciones inversas al seno, coseno y tangente, del siguiente modo:

cosecante: (abreviado como csc) es la inversa de seno:

$\csc (\alpha) = \frac{1}{\sin (\alpha)} = \frac{c}{a}$

secante: (abreviado como sec) es la inversa de coseno:

$\sec (\alpha) = \frac{1}{\cos (\alpha)} = \frac{c}{b}$

cotangente: (abreviado como cot) es la inversa de la tangente:

$\cot (\alpha) = \frac{1}{\tan (\alpha)} = \frac{b}{a}$

Normalmente se emplean las funciones trigonométricas: seno, coseno y tangente, y salvo que haya un interés especifico en hablar de los términos cosecante, secante y cotangente, o las expresiones matemáticas se simplifique muchísimo, no suelen utilizarse.

[editar] Funciones trigonométricas inversas

En trigonometría el termino ángulo, cuando se expresa en radianes, dado que un radian es el arco de circunferencia de longitud igual al radio, suele denominarse arco a cualquier cantidad expresada en radianes, por eso las funciones inversas se denominan con el prefijo arco, así si:

$y= \sin(x) \,$

y es igual al seno de x, la función inversa:

$x = \arcsin(y) \,$

x es el arco cuyo seno vale y, o también x es el arcoseno de y.

si:

$y= \cos(x) \,$

y es igual al coseno de x, la función inversa:

$x = \arccos(y) \,$

x es el arco cuyo coseno vale y, que se dice: x es el arcocoseno de y.

si:

$y= \tan(x) \,$

y es igual al tangente de x, la función inversa:

$x = \arctan(y) \,$

x es el arco cuyo tangente vale y, ó x es igual al arcotangente de y.

[editar] Valor de las funciones trigonométricas

A continuación algunos valores de las funciones que es conveniente recordar:

Radián	ángulo	sen	cos	tan	csc	sec	ctg
$0 \;$	$0^0 \,$	$\frac{\sqrt{0}}{2}=0$	$\frac{\sqrt{4}}{2}=1$	$0 \,$	$\infty$	$1 \,$	$\infty$
$\frac{\pi}{6}$	$30^0 \,$	$\frac{\sqrt{1}}{2}=\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{\sqrt{3}}$	$2 \,$	$\frac{2\sqrt{3}}{3}$	$\sqrt{3}$
$\frac{\pi}{4}$	$45^0 \,$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$1 \,$	$\sqrt{2}$	$\sqrt{2}$	$1 \,$
$\frac{\pi}{3}$	$60^0 \,$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{1}}{2}=\frac{1}{2}$	$\sqrt{3}$	$\frac{2\sqrt{3}}{3}$	$2 \,$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$
$\frac{\pi}{2}$	$90^0 \,$	$\frac{\sqrt{4}}{2}=1$	$\frac{\sqrt{0}}{2}=0$	$\infty$	$1 \,$	$\infty$	$0 \,$

[editar] Sentido de las funciones trigonométricas

Dados los ejes de coordenadas cartesianas xy, de centro O, y un circulo con centro en O y radio 1; el punto de corte de la circunferencia con el lado positivo de las x, lo señalamos como punto B.

La recta r, que pasa por O y forma un ángulo a sobre el eje de las x, corta a la circunferencia en el punto C, la vertical que pasa por C, corta al eje x en A, la vertical que pasa por B corta a la recta r en el punto D.

Por semejanza de triángulos:

$\frac{AC}{OA} = \frac{BD}{OB}$

La distancia OB, es el radio de la circunferencia, en este caso al ser una circunferencia de radio = 1, y dadas las definiciones de las funciones trigonométricas:

$\sin(a)= AC \,$

$\cos(a)= OA \,$

$\tan(a)= BD \,$

tenemos:

$\frac{\sin(a)}{ \cos(a)} = \frac{\tan(a)}{1}$

La tangente es la relación del seno entre el coseno, según la definición ya expuesta.

[editar] Primer cuadrante

Partiendo de esta representación geométrica de las funciones trigonométricas, podemos ver las variaciones de las funciones a medida que aumenta el ángulo a.

Para a = 0, tenemos que A, C, y D coinciden en B, por tanto:

$\sin(0)= 0 \,$

$\cos(0)= 1 \,$

$\tan(0)= 0 \,$

Si aumentamos progresivamente el valor de a, las distancias AC y BD aumentaran progresivamente, mientras que OA disminuirá, percatarse que OA y AC están limitados por la circunferencia y por tanto su máximo valor absoluto será 1, pero BD no esta limitado, dado que D es el punto de corte de la recta r que pasa por O, y la vertical que pasa por B, en el momento en el que el ángulo a sea 0,5 $π$ rad, la recta r será la vertical que pasa por O. Dos rectas verticales no se cortan, o lo que es lo mismo la distancia BD será infinita, la tangente toma valor infinito cuando a= 0,5 $π$ rad, el seno vale 1 y el coseno 0.

[editar] Segundo cuadrante

Cuando el ángulo a supera el ángulo recto, el valor del seno empieza a disminuir según el segmento AC, el coseno aumenta según el segmento OA, pero en el sentido negativo de las x, el valor del coseno toma sentido negativo, si bien su valor absoluto aumenta cuando el ángulo sigue creciendo.

La tangente para un ángulo a inferior a 0,5 $π$ rad se hace infinita en el sentido positivo de las y, para el ángulo recto la recta vertical r que pasa por O y la vertical que pasa por B no se cortan, por lo tanto la tangente no toma ningún valor real, cuando el ángulo supera los 0,5 $π$ rad y pasa al segundo cuadrante la prolongación de r corta a la vertical que pasa por B en un punto B real, en el lado negativo de las y, la tangente por tanto toma valor negativo, y su valor absoluto disminuye a medida que el ángulo a aumenta progresivamente hasta los $π$ rad.

Resumiendo: en el segundo cuadrante el seno de a, disminuye progresivamente su valor desde 1, que toma para a= 0,5 $π$ rad, hasta que valga 0, para a= $π$ rad, el coseno, toma valor negativo y su valor varia desde 0 para a= 0,5 $π$ rad, hasta –1, para a= $π$ rad.

La tangente conserva la relación:

$\tan(a) = \frac{\sin(a)} {\cos(a)}$

incluyendo el signo de estos valores.

[editar] Tercer cuadrante

En el tercer cuadrante, comprendido entre los valores del ángulo a de $π$ rad a 1,5 $π$ rad, se produce un cambio de los valores del seno el coseno y la tangente, desde los que toman para $π$ rad:

$\sin( \pi ) = 0 \,$

$\cos( \pi ) = -1 \,$

$\tan( \pi ) = 0 \,$

Cuando el ángulo a aumenta progresivamente, el seno aumenta en valor absoluto en el sentido negativo de las y, el coseno disminuye en valor absoluto en el lado negativo de las x, y la tangente aumenta del mismo modo que lo hacia en el primer cuadrante.

A medida que el ángulo crece el punto A se acera a O, y el segmento OA, el coseno se hace más pequeño en el lado negativo de las x, el punto C, intersección de la circunferencia y la vertical que pasa por A, se aleja del eje de las x, en el sentido negativo de las y, el seno, y el punto D, intersección de la prolongación de la recta r y la vertical que pasa por B, se aleja del eje las x en el sentido positivo de las y, la tangente.

Cuando el ángulo a alcance 1,5 $π$ rad, el punto A coincide con O y el coseno valdrá cero, el segmento OC será igual al radio de la circunferencia, en el lado negativo de las y, y el seno valdrá –1, la recta r del ángulo y la vertical que pasa por B serán paralelas y la tangente tomara valor infinito por el lado positivo de las y.

El seno el coseno y la tangente siguen conservando la misma relación, tanto en valores como en signo, notese que cuando el coseno vale cero, la tangente se hace infinito.

[editar] Representación gráfica

Representación de las funciones trigonométricas en el plano xy, los valores en el eje x multiplicados por

π

Radián.

[editar] Identidades trigonométricas

Como en el triángulo rectángulo se cumple que $a 2 + b 2 = c 2$ , de la figura anterior se tiene que sen α = a, cos α = b, c = 1; entonces para todo ángulo α:

sin 2 (α) + cos 2 (α) = 1

Algunas identidades trigonométricas importantes son las siguientes:

sen (90 - α) = cos α

cos (90 - α) = sen α

sen (180 - α) = sen α

cos (180 - α) = -cos α

sen 2α = 2 sen α cos α

cos 2α = cos²α - sen²α

sen (α + β) = sen α cos β + cos α sen β

cos (α + β) = cos α cos β - sen α sen β

sen (α - β) = sen α cos β - cos α sen β

cos (α - β) = cos α cos β + sen α sen β

sen²(α) = 1/2 * (1 - cos(2 * α));

cos²(α) = 1/2 * (1 + cos(2 * α));

2sen(α)*Cos(β)=sen(α + β)Cos(α - β)

Véase también:

Sinusoide

[editar] Función tangente

En un triángulo rectángulo, la tangente (abreviada como tan o tg) es la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente.

tan(a) = B C / A C = sin(a) / cos(a)

El valor de la tangente para algunos ángulos importantes es:

tan = AC / OA = BD / OB = sen / cos

tan (π/2) = tan (90°) = +∞

tan (-π/2) = tan (-90°) = -∞

tan (0) = 0

tan (π/4) = tan (45°) = 1

tan (π/3) = tan (60°)= $\sqrt 3$

tan (π/6) = tan (30°) = $\sqrt 3 /3$

Una identidad de importancia con la tangente es:

$\tan(\alpha + \beta) = \frac {\tan(\alpha) + \tan (\beta)} {1 - \tan(\alpha) \tan(\beta)}$

[editar] Véase también

Función trigonométrica
Identidad trigonométrica
Funciones hiperbólicas
Lista de integrales de funciones trigonométricas
Fórmula de Euler y Número complejo, para funciones trigonométricas complejas

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