Cuadrado mágico

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Un cuadrado mágico es la disposición de una serie de números enteros en un cuadrado o matriz de forma tal que la suma de los números por columnas, filas y diagonales sea la misma, la constante mágica. Usualmente los números empleados para rellenar las casillas son consecutivos, de 1 a n², siendo n el número de columnas y filas del cuadrado mágico.

[editar] Introducción

Consideremos la sucesión aritmética 1, 2, 3, 4 ... 36 (cuadrado de orden 6), y dispongamos los números ordenadamente en dos series dispuestas en zig-zag:

Resulta evidente que cualesquiera par de números alineados verticalmente suma lo mismo ya que a medida que nos desplazamos por las columnas, en la fila superior se añade una unidad, mientras que en la fila inferior se resta. La suma es en todos los casos la de los números extremos:

n² + 1 = 36 + 1 = 37

Si disponemos el conjunto de números en seis filas (ver tabla a la derecha):

Como fácilmente se puede apreciar, las sumas en las distintas columnas han de ser necesariamente iguales, ya que los números se encuentran agrupados por pares tal y como estaban en el primer caso (compárese los pares de filas 1ª-6ª, 2ª-5ª y 3ª-4ª con la disposición original). Ahora sin embargo, por ser tres los pares de filas (n/2), la suma será:

cantidad que se denomina constante mágica, y que en nuestro caso es n×(n² + 1)/2 = 6×(36 + 1)/2 = 111.

Salta a la vista que el cuadro anterior no es un cuadrado mágico, ya que al disponerse los números de forma consecutiva, las sumas de las cifras de cada fila son cada vez mayores. Sin embargo hemos encontrado seis series de números comprendidos entre 1 y 36, de forma tal que, sin repetirse ninguno, las sumas de las series son la constante mágica. Si en vez de la disposición anterior colocamos los números consecutivamente, obtenemos una disposición en la que los números de la diagonal principal se pueden escribir de la forma (a-1)×n + a.

Calculando la suma, sabiendo que las filas a van de 1 a n:

De nuevo la constante mágica. Más aún, cualquier serie de seis valores en los que no haya dos de la misma fila o columna sumará la constante mágica. Escribiendo el término i, j de la matriz como (i-1)×n + j, y tomando 6 términos cualesquiera con la condición de que ni i, ni j se repitan y varíen de 1 hasta n, la ecuación resultante será exactamente la misma que en el caso anterior y la suma, por tanto, la constante mágica.

Como se puede demostrar, la cantidad de series posibles de n números que cumplan la condición anterior es n!, 720 en cuadrados de orden 6, y ni siquiera son todas las posibles, ya que antes habíamos obtenido seis que no están incluidas entre ellas. En definitiva, siendo posible construir (n²)! matrices en las que ningún término se repita y existiendo al menos n! (en realidad muchas más) combinaciones de números que sumen la constante mágica, se comprende intituivamente que lo que sería de magia es que con tal multitud de posibilidades fuera imposible construir cuadrados mágicos.

De orden 3 existe un único cuadrado mágico (las distintas variaciones se pueden obtener por rotación o reflexión), en 1693 Bernard Frenicle de Bessy estableció que hay 880 cuadrados mágicos de orden 4 [1], posteriormente se ha encontrado que existen 275.305.224 cuadrados mágicos de orden 5; el número de cuadrados de mayor orden se desconoce aún pero según estimaciones de Klaus Pinn y C. Wieczerkowski realizadas en 1998 mediante los métodos de Monte Carlo y de mecánica estadística existen (1,7745 ± 0,0016) × 10¹⁹ cuadrados de orden 6 y (3,7982 ± 0,0004) × 10³⁴ cuadrados de orden 7.

Por lo que respecta a órdenes inferiores, es evidente que de orden uno existe un único cuadrado mágico,   1  , mientras que de orden 2 no existe ninguno, lo que se puede demostrar considerando el cuadrado mágico a, b, c, d de la figura; para que tal disposición fuera un cuadrado mágico deberían cumplirse las siguientes ecuaciones (siendo M la constante mágica o cualquier cantidad, si se quiere):

escribiendo el sistema de ecuaciones en forma matricial y buscando el orden de la matriz de coeficientes, se obtiene que es tres, mientras que el número de incógnitas es cuatro, de modo que el sistema sólo tiene la solución trivial a = b = c = d = M/2 siendo imposible construir un cuadrado mágico en el que las cuatros cifras sean distintas.

The Astronomical Phenomena (Tien Yuan Fa Wei).
Compilado por Bao Yunlong en el siglo XIII,
edición de la Dinastía Ming, 1457-1463.

Biblioteca del Congreso de los EE.UU.

[editar] Historia

En la antigua China ya se conocían los cuadrados mágicos desde el III milenio adC, como atestigua el Lo Shu. Según la leyenda, un cierto día se produjo el desbordamiento de un río; la gente, temerosa, intentó hacer una ofrenda al dios del río Lo (uno de los desbordados) para calmar su ira. Sin embargo, cada vez que lo hacían, aparecía una tortuga que rondaba la ofrenda sin aceptarla, hasta que un chico se dio cuenta de las peculiares marcas del caparazón de la tortuga, de este modo pudieron incluir en su ofrenda la cantidad pedida (15), quedando el dios satisfecho y volviendo las aguas a su cauce.

Igualmente conocieron combinaciones de esta clase los indios, egipcios, árabes y griegos. A tales cuadrados, las diferentes culturas les han atribuido propiedades astrológicas y divinatorias portentosas grabándose con frecuencia en talismanes. Así, como recoge Cornelius Agrippa en De oculta philosophia libri tres (1533), el cuadrado de orden 3 (15) estaba consagrado a Saturno, el de 4 (34) a Júpiter, el de 5 (65) a Marte, el del 6 (111) al Sol, el del 7 (175) a Venus, el del 8 (260) a Mercurio y el de 9 (369) a la Luna; idéntica atribución puede encontrarse en la astrología hindú.

La introducción de los cuadrados mágicos en occidente se atribuye a Emanuel Moschopoulos en torno al siglo XIV, autor de un manuscrito en el que por vez primera se explican algunos métodos para construirlos. Con posterioridad, el estudio de sus propiedades, ya con carácter científico, atrajo la atención de grandes matemáticos que dedicaron al asunto obras diversas a pesar de la manifiesta inutilidad práctica de los cuadrados mágicos. Entre ellos cabe citar a Stifel, Fermat, Pascal, Leibnitz, Frenicle, Bachet, La Hire, Saurin, Euler, ... diríase que ningún matemático ilustre ha podido escapar a su hechizo.

Melancolía, grabado de Alberto Durero; el cuadrado mágico aparece en la esquina superior derecha.

[editar] El cuadrado mágico de Durero

El cuadrado mágico de Alberto Durero, tallado en su obra Melancolía está considerado el primero de las artes europeas. En el cuadrado de orden cuatro se obtiene la constante mágica (34) en filas, columnas, diagonales principales, y en las cuatro submatrices de orden 2 en las que puede dividirse el cuadrado, sumando los números de las esquinas, los cuatro números centrales, los dos números centrales de las filas (o columnas) primera y última, etc. y siendo las dos cifras centrales de la última fila 1514 el año de ejecución de la obra.

Algunas disposiciones particulares en el cuadrado mágico de Durero que suman la constante mágica.

Fachada de la Sagrada Familia

[editar] El cuadrado mágico de la Sagrada Familia

La Fachada de la Pasión de la iglesia de la Sagrada Familia en Barcelona, diseñada por el escultor Josep Subirachs, muestra un cuadrado mágico de orden 4.

La constante mágica del cuadrado es 33, la edad de Jesucristo en la Pasión. Estructuralmente, es muy similar al cuadrado mágico de Melancolía, pero dos de los números del cuadrado (el 12 y el 16) están disminuidos en dos unidades (10 y 14) con lo que aparecen repeticiones. Esto permite rebajar la constante mágica en 1.

[editar] Construcción de cuadrados mágicos

Hay numerosas formas de construir cuadrados mágicos, pero las más sencillas consisten en seguir ciertas configuraciones o fórmulas que generan patrones regulares. Además pueden imponerse condiciones adicionales al cuadrado, obteniéndose cuadrados bi-mágicos, tri-mágicos, etc. Análogamente pueden construirse círculos, polígonos y cubos mágicos.

No existe un método general para construir cuadrados mágicos de cualquier orden, siendo necesario distinguir entre los de orden impar, los de orden múltiplo de 4 y el resto de orden par (4×m + 2).

[editar] Cuadrados mágicos de orden impar (I)

Estos cuadrados pueden generarse según el método publicado en 1691 por Simon de la Loubere, llamado a veces método siamés, país en el que desempeñó el cargo de embajador de Luis XIV, método ya conocido por los astrólogos orientales. Comenzando en la casilla central de la primera fila con el primer número, se rellena la diagonal quebrada con los siguientes en sentido NO (ó NE). Completada la primera diagonal se desciende una posición y se rellena la segunda en el mismo sentido que la anterior, repitiéndose el paso anterior con el resto de diagonales hasta completar el cuadrado.

Obviamente, se podría haber comenzado en cualquiera de las casillas centrales de las filas o columnas perimetrales, siendo en cada caso la dirección de las diagonales hacia fuera del cuadrado y el sentido del desplazamiento una vez finalizada cada diagonal el dado por la posición relativa del centro del cuadrado respecto de la casilla inicial.

Resulta evidente que comenzando por cualquier otra casilla las sumas de las filas y columnas será la constante mágica, ya que la posición relativa de las cifras será la misma que en el caso anterior; sin embargo, en la diagonal paralela a la dirección de rellenado no se cumplirá esta condición (sí en la otra). De hecho, la particular elección de la casilla inicial responde a la necesidad de que en la diagonal paralela a la dirección de llenado se coloquen consecutivamente los cinco números centrales de la serie ya que cualesquiera otros cinco números consecutivos no sumarán la constante mágica.

[editar] Cuadrados mágicos de orden impar (II)

Paso 1: Se escriben los números del 1 al n². Se escribe el 1 en la casilla superior del rombo y se seguirá de forma oblicua como se ve en este ejemplo. El cuadrado mágico será un cuadrado inscrito en el rombo que hemos formado.

Paso 2: Trasladamos los números de las esquinas del rombo a las casillas vacías que hay en el lado opuesto del cuadrado.

Paso 3: Quitamos las esquinas del rombo: ya tenemos un cuadrado mágico de orden impar.

[editar] Cuadrados mágicos de orden múltiplo de 4

Se construye un cuadrado con los números dispuestos consecutivamente (véase el segundo cuadrado de orden seis de la introducción), disposición en la que como sabemos, las sumas de las diagonales son la constante mágica. Una vez hecho esto, y conservando la submatriz central de orden n/2 y las cuatro submatrices de esquina de orden n/4 los números restantes se giran 180º respecto del centro del cuadrado, o si se prefiere se recolocan en orden decreciente (en ambos casos el resultado es el mismo).

Partiendo de la misma disposición y escogiendo patrones simétricos similares de las cifras a conservar pueden construirse cuadrados mágicos diferentes al obtenido antes, como el siguiente:

[editar] Cuadrados mágicos de orden múltiplo de 4 más 2

Para construir esta clase de cuadrados se puede usar el método LUX. En parte se basa en el método de la Loubere, que se usa en la construcción de cuadrados mágicos de orden impar (ver más arriba).

Como ejemplo, vamos a construir un cuadrado mágico de lado 10.

1º paso:

Vamos a agrupar las casillas en subcuadrados de 2x2, y cada uno de ellos lo etiquetaremos de la siguiente forma:

- Los cuadrados de las k+1 primeras filas, donde k es la división entera del tamaño del cuadrado entre cuatro, se etiquetan con la letra L (3 filas en este caso).

- Los cuadrados de la siguiente fila se etiquetan con la letra U.

- Los cuadrados de las filas restantes se etiquetan con la letra X.

Estas letras más adelante nos indicarán cómo rellenar cada subcuadrado de 2x2.

2º paso:

Se intercambia el cuadrado U central con el cuadrado L inmediatamente superior.

3º paso:

Etiquetaremos cada subcuadrado de 2x2 con un número siguiendo el método de la Loubere. De esta forma indicaremos el orden en el que se va a rellenar cada subcuadrado.

4º paso:

Ahora, al subcuadrado i-ésimo le corresponden los números 4i - 3, 4i - 2, 4i - 1 y 4i . Por ejemplo, al subcuadrado 10 le corresponden los números 37, 38, 39, y 40 .

Sólo nos falta saber cómo se colocan los cuatro números dentro de su subcuadrado correspondiente, y ahí entra en juego el etiquetado LUX.

Como puede verse, las letras recuerdan a la forma que hacen los números al colocarse en cada cuadrado.

Con todos estos elementos ya puede construirse el cuadrado:

[editar] Variantes

Existen multitud de variantes de los cuadrados mágicos simples que acabamos de describir, así como métodos alternativos de construcción de los mismos que pueden encontrarse en las páginas abajo indicadas, de modo que aquí nos limitaremos a hacer una breve descripción de algunas de la variantes existentes.

Hay, por ejemplo, cuadrados mágicos que continúan siendo mágicos cuando se les quita una banda exterior; incluso los hay que continúan siendo mágicos si se les quita una banda y luego una segunda banda, ...

El cuadrado completo de la figura, de orden 7, tiene por constante mágica 175 (los cuarenta y nueve primeros números); el cuadrado interior de orden 5 que comprende los números centrales de la serie anterior (13 a 37), también es mágico y tiene por constante mágica 125, al igual que el cuadrado de orden tres central (números 21 a 29) que tiene una constante mágica de 75.

Algunos cuadrados conservan la suma mágica a lo largo de todas las diagonales quebradas, además de filas, columnas y diagonales principales, como el de la derecha. Estas disposiciones se suelen denominar cuadrados diabólicos, aunque también se llama a veces así al cuadrado de Durero que no cumple esta condición. Éste último también se ha llamado a veces cuadrado satánico porque existen muchas combinaciones, ciertamente peculiares, de números simétricamente distribuidos a lo largo de la matriz con los que se consigue la suma mágica, como ya mostramos con anterioridad cuando hablamos de él. Al respecto cabe recordar que el número de combinaciones de n cifras, tomadas de la serie aritmética 1 a n×n, es incluso superior al de cuadrados que se pueden construir con dichas cifras, por lo que encontrar disposiciones aparentemente peculiares tales que se obtenga la suma mágica es más común de lo que se cree. Si nos fijamos por ejemplo en el cuadrado diabólico de la figura, veremos que tales disposiciones también suman 34 (las cuatro esquinas y las cuatro centrales, las cuatro submatrices de orden cuatro, etc., y además las diagonales quebradas, claro que en él no aparece la fecha de creación de Melancolía como sucedía en el cuadrado de Durero, en el que existen más de 34 combinaciones).

Si entendemos los cuadrados mágicos como matrices, con sus operaciones usuales de suma y producto, el cuadrado mágico de orden 3 tiene la interesante propiedad de que su matriz inversa vuelve a ser un cuadrado mágico que tiene valores fraccionarios positivos y negativos y cuya constante mágica es 1/15.

Éste es el cuadrado mágico de orden 3 habitual...

...y éste es su cuadrado mágico inverso.

Los cuadrados p-mágicos son aquellos tales que elevadas todas las cifras del cuadrado a la k potencia, siendo 1≤k≤p, siguen siendo mágicos:

• El cuadrado bi-mágico menor conocido es el de orden 8 mostrado más adelante y que tiene por constantes mágicas 260 (k=1) y 11180 (k=2). Se conjetura que no existen cuadrados bi-mágicos de orden inferior, aunque no existe prueba concluyente de ello. En 1998, J. R. Hendricks demostró que es imposible construir cuadrados bi-mágicos de orden 3, salvo el que contiene 9 cifras iguales, que de mágico tiene más bien poco.

• Se han construido cuadrados tri-mágicos de órdenes 12, 32, 64, 81 y 128; el único de orden 12 fue construido por el matemático alemán Walter Trump en junio de 2002.

• El primer cuadrado tetra-mágico, de orden 512, lo obtuvieron André Viricel y Christian Boyer en mayo de 2001; un mes más tarde presentaron el primer cuadrado penta-mágico, de orden 1024. Ya en 2003, presentaron un cuadrado tetra-mágico de orden 256 y el matemático chino Li Wen uno penta-mágico de orden 729.

Pueden construirse cuadrados mágicos con números extraídos de cualquier sucesión aritmética independientemente del número inicial y de la razón de la serie. Siendo a₀ el primer término y r la razón, fácilmente se demuestra que la constante mágica será en este caso:

Análogamente, se pueden construir cuadrados mágicos a partir de sucesiones geométricas, en cuyo caso serán los productos los que den por resultado la constante mágica. Estos pueden construirse con las reglas dadas para los cuadrados aritméticos, sin más que sustituir el término de la serie geométrica en la posición indicada por la correspondiente de la serie aritmética:

La constante mágica es en el caso general

cuya similitud con la ya obtenida para las series aritméticas es palpable.

También se han construido cuadrados mágicos con series de números primos consecutivos, o con las cifras decimales de los recrípocos de la serie aritmética de los números naturales, etc.

Por último señalaremos la existencia de disposiciones mágicas n-dimensionales; así, con la serie 1 - n³ pueden construirse cubos mágicos, y en general, con la serie 1 - n^r cuadrados mágicos r-dimensionales de orden n, con sus respectivas variantes multi-mágicas y cuya visualización no es inmediata, aunque pueden tratarse cómodamente mediante el empleo de ordenadores.

[editar] Cuadrados mágicos esotéricos

Nota: para apreciar las comparaciones, para los cuadrados mágicos esotéricos, se ha tomado otros colores, diferentes a los empleados hasta aquí.

Un cuadrado mágico esotérico, utiliza criterios más restrictivos en cuanto a condicionantes para ser tenido por un cuadrado mágico, tanto es así, que solo existe uno por cada n. A continuación se detallan los condicionantes.

[editar] Propiedad de equivalencia

En sentido esotérico, solo se considera cuadrado mágico, a aquellos que tienen las mismas cifras que el número de casillas (que siguen la serie de números naturales desde 1 hasta n²). El cuadrado de la figura (color naranja, a la izquierda) no es un cuadrado mágico esotérico. En este caso es el resultado de un cuadrado mágico de n=3 a cuyas cifras se le ha sumado 20, comparar con el original (color naranja a la derecha)de n=3, viendo la ubicación de las cifras y su concordancia.

[editar] Propiedad de las esquinas

• En sentido esotérico, un cuadrado mágico, debe reunir unas condiciones de suma de sus esquinas (que llamamos Cifra mágica-2, o de segundo orden). Explicación de como se halla:

• Si llamamos Composición al sumatorio de los números que componen el cuadrado mágico: C= sum (1+2+3....), o también C= ((n²+1)×(n²/2) ...

• ...y si llamamos Número base (Nb) a la Composición dividida entre el número de casillas que componen el cuadrado, tendremos que Nb= C / (n²).

• También obtenemos la Cifra mágica, al multiplicar el Número base por n Cm=Nb×n (o a la inversa, obtenemos Nb, al dividir la Cifra mágica entre n Nb= Cm/n ).

Y siendo Cifra mágica-2 la suma de las esquinas entonces: Cm2= r+s+t+u

Entonces Cm2 , la suma de las esquinas Cm2= Cm - (Nb( n-4))

O también (partiendo de que Cm=Nb×n) : Cm2= Nb×n - (Nb(n-4)).

O reduciendo : Cm2= 4Cm / n.

Se señalan en los dibujos las casillas de esquina, para cuadrados de n=4 y n=3

• Se deduce que si el cuadrado tiene menos esquinas de 4, entonces dicha cifra es sumada, que si es mayor de 4 esquinas, la cifra es restada. Para el caso de 4 esquinas exactas, ni se suma ni se resta, o bien se suma y se resta, (como prefiera ser considerado).

• Podemos comprobar que en el cuadrado mágico de 4 la suma de las 4 esquinas Cm2 =Cm (Cifra mágica2= Cifra mágica).

También la suma de las cifras de las 4 casillas que forman una cruz (las que están en el medio entre dos esquinas adyacentes), suman Cm2. La particularidad de n=par_impar produce dos casos.

• Para el caso de n=impar: Cm2= C +R +U +Z (dibujo de la izquierda)

• Y para el caso de n=par las dos casillas adyacentes que forman la cruz en las mismas condiciones, solo que en este caso al ser dos grupos de 4 casillas, es dos veces CM ; =2 Cm2): Cm2=(C1 +C2 +R1 +R2 + U1 +U2 +Z1 +Z2 )/2 (dibujo de la derecha)

Se muestran un cuadrado de n=3 para ejemplo de caso par, y uno de n=6 para ejemplo de caso impar. Obsérvese que del caso impar, se toman las dos casillas centrales de CRUZ, razón, por la que hay que dividir luego entre dos.

• Se ha remarcado en la tabla el ejemplo mostrado sobre el cuadrado mágico con el caso de n= 7 : al aplicar C=1225 ; Nb=25 ; Cm= 25×7=175 ; Cm2= 175- (25(7-4)=100

• Se puede comprobar Cm2=R+S+T+U , (las esquinas, en amarillo 22 + 4 + 46 + 28 ) = 100

• Igualmente se puede comprobar Cm2=C+R+U+Z ,(los centros en cruz, en oscuro 41 + 13 + 9 + 37 ) = 100

Es decir C+R+U+Z=R+S+T+U

.

• Puede entenderse que el cuadrado de 1, no tiene 4 esquinas, y sin embargo su cifra mágica-2, es 4 , al no poder sumar más que 1, queda fuera de ser un cuadrado mágico esotérico.
• El cuadrado de dos , si tiene 4 esquinas, pero su cifra mágica-2 arroja un resultado de 10, lo cual es imposible que resulte. Se explica más arriba en este artículo, el porqué un cuadrado mágico de n=2, no lo es (Cm no resulta), y aquí además porqué no es esotérico.

[editar] Propiedades posicionales

Por la que se considera a un cuadrado mágico esotérico que está ordenado cuando se cumplen además otras condicones que son ligeramente distintas en los cuadrados de n-par sobre los de n-impar. (el mismo cuadrado rotado o reflejado, deja de ser ordenado aunque no deja de ser esotérico.

1. n-impar: Nb ocupa la casila central. La cifra mayor está encima de la casilla central y la inferior debajo .La esquina r está ocupada por la cifra Nb-(n/2-(1/2)) y la opuesta u por lacifra Nb+(n/2-(1/2)). La esquina s está ocupada por la cifra n/2+(1/2) y la casilla opuesta t, por 2×Nb- (la cifra de s), o lo que es igual , por la cifra mayor del cuadrado mágico, - (n/2-(1/2)).
2. n-par : La casilla r (la 1ª), es ocupada por la cifra n , la cifra 1 ocupa la casilla s, y la última cifra, la diagonal t , y la casila u=t+s-r .Al ser par, no existe casilla central, y por lo mismo Nb, no es entero, y no ocupa casilla.

[editar] Alusiones a la Cábala

• Primera alusión a la Cábala: Hay equivalencias entre las cifras de los cuadrados mágicos esotéricos y las letras del alfabeto hebreo, considerado por los cabalistas, de modo que sólo cuando se aplica al cuadrado adecuado, puede tomarse correctamente el resultado cabalístico, siendo inexacto las conclusiones si se toma el cuadrado mágico equivocado.
  

Las reglas particulares, así como esta general, ha sido desconocida por muchos que a lo largo de los tiempos trataron de desentrañar sus misterios o de desenmascarar sus mentiras, es por ello que los estudios de aquellos que ignoraron tales cuestiones carecen de validez, pues la palabra tomaba el número de acuerdo a las reglas de éste para interpretar la palabra , y no la palabra se convertía en número para interpretar la palabra, como tales pretendían. Así como las palabras tenían sus reglas, también las tenían los números, y era así como se convertía en sagrada su interpretación, pues no bastaba con conocer los números si no se conocían sus reglas, igual que no basta para comprender un idioma, aunque se conozcan sus letras, si se desconocen sus reglas....

• Segunda alusión a la Cábala : Es de señalar que sin embargo, a pesar de lo anotado más arriba de esta sección, los mencionados como cuadrados satánicos, estrictamente en sentido esotérico, no son tenido por tales si no tan solo el cuadrado de n=6 esotérico, ya que la suma de sus cifras (Composición), suma 666. Y es en donde los cabalistas buscan o debieran buscar el número de la Bestia tal como se menciona en la Biblia.

[editar] Conclusiones

• Como se puede apreciar desde el principio del artículo, el cuadrado mágico, denota un gran equilibrio en su construcción. El cuadrado mágico esotérico, requiere aún un equilibrio mayor, razón por la que no cualquier cuadrado mágico, es esotérico.

• Para entender ese equilibrio (en general), puede hacerse una idealización de la siguiente forma: Imaginemos que cada casilla representa una pieza de un peso tal como refleja el número contenido en ella. Bien, ahora imaginemos que colocamos la matriz en equilibrio sobre su centro geométrico, por las sumas que en apartados superiores de este artículo se han explicado y suponiendo pesos exactos, la tabla queda equilibrada. Si las casilas de la tabla fuesen posicionadas en su orden correlativo, veríamos que no mantendrían su equilibrio, y que una zona sería notoriamente más pesada que la otra.

• Puede considerarse que el cuadrado mágico por tanto es un método de equilibrar una superficie (o una dimensión si se considera el cubo mágico) en su centro geométrico, que a su vez es el centro de gravedad. Asumiendo esta misma definición diferenciaríamos el cuadrado mágico del cuadrado mágico esotérico en que éste último a su vez no considera aquellas situaciones que son simétricas, múltiplos o cuyo orden hace vacilar el equilibrio en gran medida si se retira un "peso" del tablero. Evidentemente sólo aquél orden que mantenga el mayor número de proporciones equivalentes respecto de dicho centro geométrico, lo mantendrá también respecto de su centro de gravedad, e igualmente si estaba en una situación de equilibrio, al retirar una única pieza la rotura del equilibrio será menor que otro orden (disposición) que por ejemplo, sólo iguale proporciones perimetrales.

• Cuanto menor es el número del lado de casillas tanto menor es la proporción de equilibrio entre partes simétricas. Excepto que consideremos el caso del 1.

• El equilibrio mencionado al caso, por tanto consiste en un orden específico de numeración (o posicionamiento, si quiere idealizarse con los pesos) que conlleva a que el centro de geométrico sea también el centro de gravedad.

• No se conocen aplicaciones tecnológicas concretas que se beneficien de estas características, razón por la cual sigue recluido al divertimento curiosidad y al pensamiento matemático.

[editar] Cuadrado Mágico Renato

Este es el cuadrado mágico "RENATO" y su autor es Jorge Egúsquiza Loayza. Este cuadrado mágico que tiene debidamente ordenados los números del 1 al 400 suma 4,010 horizontal, vertical y diagonalmente. Su creación fue posible usando el método de construcción de cuadrados mágicos inventado para el efecto. Este método se basa en la extrapolación de los números usando una secuencia lógica de inversión, se cambia un número superior por uno inferior:

El 2 de la primera línea se invierte hacia abajo, sustituyendo al 382, que toma el lugar del 19, que pasa al lugar del 399, que termina en la casilla del 2. Es un método lógico de inversión de esquinas de líneas paralelas a base del par central.

[editar] Bibliografía complementaria

• Andrews, William Symes: Magic Squares and Cubes. Nueva York: Dover, 1960. ISBN 0486206580
• Fults, John Lee: Magic Squares. La Salle, Illinois: Open Court, 1974. ISBN 0875481973
• Pickover, Clifford: The Zen of Magic Squares, Circles, and Stars. Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press, 2003. ISBN 0691115974

[editar] Véase también

• Matemáticas recreativas

[editar] Enlaces externos

• Enciclopedia Libre
• Página de Miguel Molina (10 de enero 2004).
• Página de Blai Figueras Álvarez (10 de enero de 2004).
• Cuadrados mágicos con las letras de diversos alfabetos (en inglés)