Número entero
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, Los números enteros son del tipo: -59, -3, 0, 1, 5, 78, 34567, etc., es decir, los naturales, sus opuestos (negativos) y el cero. Se dividen en tres partes: enteros positivos o números naturales, enteros negativos y cero. Dado que los enteros contienen los enteros positivos, se considera a los números naturales un subconjunto de los enteros.
Los enteros se representan gráficamente en la recta de números enteros como puntos a un mismo espacio entre sí desde menos infinito, -3 , -2, -1, 0, 1, 2, 3, hasta más infinito: los números enteros no tienen principio ni fin.
Los números negativos pueden aplicarse en distintos contextos, como la representación de deudas, profundidades bajo el nivel del mar, temperaturas bajo cero, entre otros.
Históricamente, durante mucho tiempo fueron rechazados por creer que "no existían" y no fue sino hasta el siglo XVII que tuvieron aceptación en trabajos científicos, aunque matemáticos italianos del renacimiento como Tartaglia y Cardano los hubiesen ya advertido en sus trabajos acerca de solución de ecuaciones de tercer grado.
El hecho de que un número sea entero, significa que no tiene parte decimal. Imaginemos que disponemos de dos barras de chocolate, cada una con tres divisiones, las cuales van a repartirse entre tres personas. Es claro que esta operación puede realizarse convenientemente si a cada persona le tocan dos partes de las tres que tiene cada barra. Ahora bien, imaginemos que tenemos 7 balines (esferas de metal) que queremos repartir entre las mismas tres personas. Es claro que no puede partirse un balín para que a cada persona le toque la misma cantidad de balines, así que a cada uno le deben tocar dos balines y regalar uno para que la repartición sea justa, o bien conseguir otros dos balines para que a cada uno le toquen tres.
Los balines ilustran así, por analogía, los números enteros: números que no pueden dividirse, a menos que la división sea exacta, por decir:
8/4 sí es exacta: 8/4 = 2 y es un entero, pero 8/3 no es exacta y no puede ser, en consecuencia, un número entero.
Los enteros con la adición y la multiplicación forman una estructura algebraica llamada anillo. Pueden ser considerados una extensión de los números naturales y un subconjunto de los números racionales (fracciones).
Los números enteros son subconjunto de los números racionales o fracciones, puesto que cada número entero puede ser considerado como una fracción cuyo denominador es el número uno.
Los números enteros pueden ser sumados y restados, multiplicados y comparados. Si la división es exacta, también pueden dividirse dentro del mismo conjunto de los enteros.
La razón principal para introducir los números negativos sobre los números naturales es la posibilidad de resolver ecuaciones del tipo:
- a + x = b
para la incognita x.
Matemáticamente, el conjunto de los números enteros con las operaciones de suma y multiplicación, (ℤ,+,·) constituye un anillo conmutativo y unitario.
Por otro lado, es un conjunto completamente ordenado sin cota superior o inferior: los enteros no tienen principio ni fin.
El conjunto de los números enteros se representa mediante Z (una Z con la línea diagonal doble). El origen del uso de Z es el alemán Zahlen, números.
Los números enteros cumplen los siguientes axiomas, para todo a, b, c ∈ Z:
[editar] Axioma 1. Operaciones internas
- a+b ∈ Z.
- a·b ∈ Z.
[editar] Axioma 2. Propiedades asociativas
- (a+b)+c = a+(b+c) = a+b+c.
- (a*b)*c = a*(b*c) = a*b*c.
[editar] Axioma 3. Propiedades conmutativas
- a+b = b+a.
- a·b = b·a
[editar] Axioma 4. Elementos neutros
- Existe 0 ∈ ℤ tal que a+0 = 0+a = a para todo a ∈ Z.
- Existe 1 ∈ ℤ tal que a·1 = 1·a = a para todo a ∈ Z.
[editar] Axioma 5. Existencia de opuestos
- Existe -a tal que a+(-a) = (-a)+a = 0.
[editar] Axioma 6. Propiedad cancelativa
- a·b = a·c y a ≠ 0 ⇨ b = c.
[editar] Axioma 7. Propiedad distributiva
- a·(b+c) = a·b+a·c.
[editar] Axioma 8. Propiedad reflexiva
- a ≤ a.f
[editar] Axioma 9. Propiedad antisimétrica
- a ≤ b y b ≤ a ⇨ a = b.
[editar] Axioma 10. Propiedad transitiva
- a < b y b < c ⇨ a < c.
[editar] Axioma 11. Propiedad de la buena ordenación
- Sea S un subconjunto no vacío de ℤ, acotado inferiormente, entonces S tiene primer elemento.
Este axioma indica que el conjunto S tiene un ínfimo y un supremo, lo que quiere decir es que S del conjunto de cotas superiores y cotas inferiores tiene un elemento menor de las cotas superiores llamado supremo que a su vez es mayor que todos los elementos del conjunto S.
[editar] Axioma 12
- c ≥ 0 y a ≤ b ⇨ a·c ≤ b·c
- a ≤ b ⇨ a+c ≤ b+c para todo c ∈ ℤ.
