Derivada parcial

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En matemática, una derivada parcial de una función de diversas variables es su derivada respecto a una de esas variables manteniéndo las otras constantes. Las derivadas parciales son útiles en cálculo vectorial y geometría diferencial.

La derivada parcial de una función f respecto a la variable x se representa como $\frac{ \partial f }{ \partial x } , \partial_xf \mathrm{o} f_{x}$ (donde $\partial$ es una 'd' redondeada conocida como el 'símbolo de la derivada parcial')

Cuando una magnitud $A$ es función de diversas variables ( $x$ , $y$ , $z$ , $...$ ), es decir:

$A = f\left(x,y,z,...\right)$

Al realizar esta derivada obtenemos la pendiente de dicha función $A$ paralela al eje de la incógnita respecto a la cual se ha hecho la derivada.

Analíticamente el gradiente de una función es la máxima pendiente de dicha función en la dirección que se elija. Mientras visto desde el algebra lineal, la dirección del gradiente nos indica hacia donde hay mayor variación en la función.

[editar] Ejemplos

Considera el volumen V de un cono; Éste depende de la altura h del cono y su radio r de acuerdo con la fórmula

$V = F(r,h) = \frac{ r^2 h \pi }{3}$

La derivada parcial de V respecto a r es

$\frac{ \partial V}{\partial r} = \frac{ 2r h \pi }{3}$ ;

y describe la velocidad de cambio con que el volumen de un cono cambia si su radio varía y su altura se mantiene constante. La derivada parcial respecto a h es

$\frac{ \partial V}{\partial h} = \frac{ r^2 \pi }{3}$

y representa la velocidad de cambio con que el volumen cambia si su altura varía y su radio se mantiene constante.

Otro ejemplo tiene que ver con el área A de un círculo, aunque éste sólo depende del radio r del círculo de acuerdo con la fórmula

$A = F\left(r\right) = \pi r^2$

La derivada parcial de A respecto a r es

$\frac{ \partial A}{\partial r} = 2 \pi r$

Otro ejemplo, dada la función

$A = F\left(x,y\right) = 3x^3 y + 2x^2 y^2 -7y$

la derivada parcial de $A$ respecto de $x$ es:

$\frac{\partial A}{\partial x} = 9x^2y + 4xy^2$

mientras que con respecto de $y$ es:

$\frac{\partial A}{\partial y} = 3 x^3 + 4 x^2 y - 7$

[editar] Notación

Para el siguiente ejemplo, f será una función en x, y y z.

Derivadas parciales de primer orden:

$\frac{ \partial f}{ \partial x} = f_x = \partial_x f$

Derivadas parciales de segundo orden:

$\frac{ \partial^2 f}{ \partial x^2} = f_{xx} = \partial_{xx} f$

Derivadas cruzadas de segundo orden:

$\frac{ \partial^2 f}{\partial x\,\partial y} = f_{xy}$

$\frac{ \partial^2 f}{\partial y\,\partial x} = f_{yx}$

[editar] Definición formal y propiedades

Como las derivadas en una variable, las derivadas parciales están definidas como el límite. Donde U es un subconjunto abierto de Rⁿ y f : U → R una función.

Definimos derivada parcial de f en el punto a = (a₁, ..., a_n) ∈ U con respecto a la i-ésima variable x_i como:

$\frac{ \partial }{\partial x_i }f(\mathbf{a}) = \lim_{h \rightarrow 0}{ f(a_1, \dots , a_{i-1}, a_i+h, a_{i+1}, \dots ,a_n) - f(a_1, \dots ,a_n) \over h }$

Incluso si todas las derivadas parciales $\frac{\partial}{\partial x_i}f(a)$ existen en el punto a, la función no necesariamente es continua en ese punto. Sin embargo, si todas las derivadas parciales existen alrededor de a y son continuas, entonces la función es diferenciable y continua cerca de a . En este caso, f es una función C¹.

A su vez, la derivada parcial $\frac{\partial f}{\partial x_i}$ puede verse como otra función definida en U y derivarse parcialmente. Si todas sus derivadas parciales existen y son continuas, llamamos a f una función C²; en este caso, las derivadas parciales (llamadas cruzadas) puede ser intercambiadas por el teorema de Clairaut.