Límite matemático

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En matemáticas, se usa el concepto del límite para describir las andanzas de una sucesión o una función. La idea es que una sucesión o una función tiene un límite si progresivamente alcanza un número, que se llama el límite. Se usa el límite en cálculo (por lo que también se usa en el análisis real y matemático) para definir convergencia, continuidad, derivación, integración, y muchas otras cosas.

Tabla de contenidos

1 Límite de una función
- 1.1 Definición
- 1.2 Indeterminaciones
2 Límite de una sucesión
- 2.1 Definición

[editar] Límite de una función

[editar] Definición

Informalmente, decimos que el límite de la función $f (x)$ es $L$ cuando $x$ tiende a $x 0$ , y escribimos

$\lim_{x\to x_0} \, \, f(x) = L$

si se puede encontrar $x$ suficientemente cerca de $x 0$ tal que $f (x)$ es tan cerca de $L$ como se quiera. ( $x 0$ puede ser finito o infinito.) Es decir, el límite es $L$ si $f (x)$ tiende a $L$ cuando $x$ tiende a $x 0$ . Más precisamente, decimos que

$f(x) \to L \Longleftrightarrow\forall \epsilon > 0$ $\exists \delta > 0 : 0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon.$

Esta definición se llama frecuentemente la definición épsilon-delta del límite.

[editar] Indeterminaciones

Hay varios tipos de indeterminaciones, entre ellas:

$\infty - \infty$

$\frac{\infty}{\infty}$

$\infty \cdot 0$

$\frac{0}{0}$

$\infty ^0$

$1^\infty$

$0^0 \,$

[editar] Límite de una sucesión

[editar] Definición

La definición del límite en el caso de una sucesión es muy parecida a la definición del límite de una función cuando $x$ va a $\infty$ . Decimos que la sucesión $a n$ tiende hasta su límite $a$ , o que converge o es convergente (a $a$ ), y escribimos

$\lim_{n\to\infty}a_n = a$

si podemos encontrar un número $N$ tal que todos los términos de la sucesión después de $a N$ están tan cerca del límite $a$ como queramos. Es decir, una sucesión converge si $a n$ se acerca a $a$ cuando $n$ crece sin cota. Más precisamente: