Distribución binomial

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En estadística, la distribución binomial es una distribución de probabilidad discreta del número de sucesos en una secuencia de n experimentos independientes, los cuales tienen probabilidad $θ$ de ocurrir. (La distribución de Bernoulli es una distribución binomial con n = 1). Su distribución de probabilidad está dada por:

$\!b(x;n,\theta)={n \choose x}\theta^x(1-\theta)^{n-x}$

Para $\!x = 0, 1, 2,...,n$

Por ejemplo, la distribución binomial se usa para encontrar la probabilidad de sacar 5 caras y 7 cruces en 12 lanzamientos de una moneda. $\!x = 5, n = 12, \theta = 0.5$

$\!b(5;12,0.5)={12 \choose 5}0.5^x(1-0.5)^{12-5}=0.19$

Su media y su varianza son:

$\!\mu = n\theta$

$\!\sigma^2 = n\theta(1-\theta)$

Cuando n es muy grande la distribución binomial se aproxima a la distribución normal.

[editar] Experimento binomial

La variable aleatoria binomial y su distribución están basadas en un experimento que satisface las siguientes condiciones:

El experimento consiste en una secuencia de n intentos, donde n se fija antes del experimento.
Los intentos son idénticos, y cada uno de ellos puede resultar en dos posibles resultados, que denotamos por éxito (S) o fracaso (F) (p(S)+p(F)=1).
Los intentos son independientes, por lo que el resultado de cualquier intento en particular no influye sobre el resultado de cualquier otro intento.
La probabilidad de éxito es constante de un intento a otro.

Siguiendo estas premisas la variable aleatoria binomial X está definida como

X = el número de S entre los N intentos.

[editar] Propiedades reproductivas

Dadas n variables aleatorias $X i$ , tales que:

todas tienen una distribución binomial
todas tienen el mismo parámetro $θ$
cada una tiene su propio parámetro $n i$ (es decir, los n no necesariamente tienen que ser iguales)
son todas independientes entre sí
se toma la variable aleatoria $Y = \sum^{n}_{i = 1} X_i$
se toma $n_Y = \sum^{n}_{i = 1} n_i$

Entonces:

La variable aleatoria Y tiene una distribución Binomial, con parámetros $n Y$ y $θ$ .

Es decir:

Dadas n variables binomiales independientes, donde cada una tiene su propio n pero todas tienen igual $θ$ , su suma es también una variable binomial, cuyo parámetro n es la suma de los n de las variables originales, y cuyo parámetro $θ$ coincide con el de las originales.