Ecuación de Klein-Gordon

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La ecuación de Klein-Gordon debe su nombre a Oscar Klein y Walter Gordon, y es la ecuación que describe un campo escalar libre en teoría cuántica de campos.

La ecuación tiene la siguiente forma

$\left [\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} - \nabla^2 + \mu^2 \right ] \phi = 0$

Donde $\mu = \frac{mc}{\hbar}$

Definiendo el D'Alambertiano $\Box ^2 = \partial_\mu \partial^\mu = \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} - \nabla^2$ , la ecuación se escribe de manera más compacta y manifiestamente covariante:

$\left [\Box ^2 + \mu^2 \right ] \phi = 0$

Nótese que si se escoge la métrica con signatura opuesta, aparece un signo menos delante de $\ \mu$ en esta última ecuación.

[editar] Inicialmente en mecánica cuántica

Lo que se pretendía lograr con la ecuación de Klein-Gordon era una ecuación de movimiento para una partícula cuántica y relativista. De este modo se deduce la ecuación escribiendo la energía que tiene una partícula relativista y utilizando la forma de los operadores Hamiltoniano y momento en mecánica cuántica:

$E^2 = \mathbf{p}^2 c^2 + m^2 c^4= \left [i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \right ] ^2 \quad \quad , \quad \mathbf{p}=-i\hbar \nabla$

El problema que surge es que la variable dinámica $\ \phi$ está considerada como una función de onda, lo cual da lugar a incongruencias como el tener una energía no acotada por abajo, lo que daría lugar a partículas inestables. Otro problema es que la densidad de probabilidad asociada a esta función de onda no es definida positiva. Además no hay forma de tener en cuenta el spin con esta ecuación.

[editar] En teoría cuántica de campos

El nuevo enfoque que se le dio es que la variable $\ \phi$ es un campo, que se cuantiza mediante el formalismo de cuantización canónica. En concreto es un campo escalar, lo que significa que tiene spin 0 (bosón). Para describir campos de spin 1/2 se utiliza la ecuación de Dirac.

La densidad de Lagrangiano de la que se deriva la ecuación de Klein-Gordon variando la acción o mediante las ecuaciones de Euler-Lagrange es

$\mathcal{L}=\partial_{\mu}\phi \partial^{\mu}\phi - \mu^2\phi^2$

Donde el campo es real. En este caso la partícula que surje como excitación de este campo no tiene carga y su antipartícula es ella misma.

Si se quiere describir una partícula escalar con carga, y a su antipartícula, la densidad de Lagrangiano es:

$\mathcal{L}=\partial_{\mu}\phi \partial^{\mu}\phi^* - \mu^2 | \phi |^2$

Se obtiene entonces una ecuación de Klein-Gordon para $\ \phi$ y otra para su complejo conjugado $\ \phi ^*$ .

[editar] Solución general

Se puede hacer un desarrollo en ondas planas y la solución general para un campo real de Klein-Gordon es entonces

$\phi \left ( \mathbf{x} , t \right ) = \int \frac{d^3 \mathbf{p}}{(2 \pi)^3} \frac{1}{\sqrt{2 E_{\mathbf{p}}}} \left ( a_{\mathbf{p}} e^{-\frac{i}{\hbar}E_\mathbf{p}t} e^{\frac{i}{\hbar} \mathbf{p} \mathbf{x}} + a_{\mathbf{p}}^{\dagger} e^{\frac{i}{\hbar}E_\mathbf{p}t} e^{-\frac{i}{\hbar} \mathbf{p} \mathbf{x}} \right )$

Estando relacionada la energía con la masa y el trimomento mediante la relación de dispersión

$E_{\mathbf{p}}^2 = \mathbf{p}^2 c^2 + m^2 c^4$

Las letras $\ a$ y $a^{\dagger}$ son los coeficientes del desarrollo, y una vez efectuada la segunda cuantización se convierten en operadores de creación y de destrucción del oscilador armónico cuántico. Es entonces cuando se pone de manifiesto el carácter bosónico de la ecuación de Klein-Gordon, y se puede hacer la interpretación del campo $\ \phi$ como un conjunto de infinitos osciladores armónicos cuánticos desacoplados.