Ecuación de segundo grado

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Una ecuación de segundo grado con una incógnita es una ecuación que se puede poner bajo la forma canónica:

$a x^2 + b x + c = 0 \,$

donde a, b y c, con a ≠ 0, son números que pertenecen a un cuerpo, usualmente a R o a C.

Tabla de contenidos

1 El caso general
2 El caso real
3 Interpretación geométrica
4 Solución mediante cambio de variable
5 Obtención de la abscisa del vertice por derivadas
6 Historia
7 Enlaces externos

[editar] El caso general

Sea K un cuerpo conmutativo, donde se puede extraer raíces cuadradas.

En este cuerpo, es posible factorizar por a (con a ≠ 0) , y las siguientes identidades son válidas :

$(a - b) (a + b) = a^2 - b^2 \,$

$(a + b)^2 = a^2 + 2 a b + b^2 \,$

Para resolver la ecuación $a x^2 + b x + c = 0 \,$ , es preciso factorizarla en dos binomios de primer grado:

$a x^2 + b x + c = a \left ( x^2 + \frac {b} {a} x + \frac {c} {a} \right ) = a \left ( \left ( x + \frac {b} {2 a} \right )^2 - \frac {b^2 - 4 a c} {4 a^2} \right ) \quad (1)$

Sea $\Delta = b^2 - 4 a c \,$ y $d^2 = \Delta \,$ . Entonces:

$(1) = a \left ( \left ( x + \frac {b} {2 a} \right )^2 - \frac {\Delta} {4 a^2} \right ) = a \left ( \left ( x + \frac {b} {2 a} \right )^2 - \frac {d^2} {4 a^2} \right ) = a \left ( x + \frac {b - d} {2 a} \right ) \left ( x + \frac {b + d} {2 a} \right )$

Primero se factoriza por a, lo que es posible porque a tiene un inverso, luego se introduce un término que completa los dos primeros en un cuadrado, que aparece en (1). El número d es una de las dos raíces del discriminante $\Delta = b^2 - 4 a c \,$ . Se utiliza la primera identidad anunciada, y se obtienen dos factores de primer grado. En un cuerpo, un producto es nulo si y sólo si uno de sus factores lo es (un cuerpo es un dominio íntegro), lo que da las soluciones:

$x_1 = -\frac {b - d} {2 a} \,$ y $x_2 = -\frac {b + d} {2 a} \,$

La igualdad: $a x^2 + b x + c = a(x - x_0)(x - x_1) \,$ da, al desarrollar el segundo miembro e identificar los coeficientes:

$x_0 + x_1 = {-b \over a} \,$ y $x_0 x_1 = {c \over a} \,$

Recíprocamente, si conocemos la suma y el producto de dos números, podemos escribir la ecuación de segundo grado cuyas raíces son estos números:

$X^2 - S X + P = 0 \,$ , donde S = suma, P = producto, y se ha tomado a = 1

- La ecuación de segundo grado, también llamada cuadrática, en su forma más simple es: $a x^2 + b x + c = 0 \,$ , donde a, b, c son números reales. Al número a se le llama coeficiente principal (y tiene que ser distinto de cero pues en caso contrario, no sería de segundo grado) El número c es el término independiente.

[editar] El caso real

Si a, b y c son números reales, el raciocinio anterior es por supuesto válido, pero es práctico distinguir dos casos, según el signo del discriminante $\Delta = b^2 - 4 a c \,$ :

Si $\Delta \ge 0 \,$ , entonces para d se puede tomar su raíz cuadrada, y las soluciones son:

$x = \frac {-b \pm \sqrt {b^2 - 4 a c}} {2 a}$

Si $\Delta < 0 \,$ , entonces ni Δ ni la ecuación tienen raíces reales. Es preciso emplear números complejos: para d se puede tomar la raíz cuadrada de -Δ, multiplicado por i (que verifica $i^2 = -1 \,$ ), pues:

$d^2 = \left (i \sqrt {-\Delta} \right )^2 = i^2 ( -\Delta ) = - ( - \Delta ) = \Delta$

y las soluciones son:

$x = \frac {-b \pm i \sqrt {4 a c - b^2}} {2 a}$

Según los signos de Δ y a; la curva de x → ax² + bx + c se posiciona así con relación a los ejes:

[editar] Interpretación geométrica

Siglos antes de resolver algebraicamente la ecuación de segundo grado, se encontraron soluciones utilizando un método geométrico, interpretando los términos como áreas, y distinguiendo varios casos pues no se conocían los números negativos (y menos aún las áreas negativas).

El caso más común es: $x^2 + b x = c \,$ , con b y c positivos.

$x^2 \,$ es obviamente el área de un cuadrado de costado x, y bx la de un rectángulo de costados b y x.

Se parte este en dos, y se lo coloca alrededor del cuadrado, con el propósito de construir un cuadrado mayor.

Luego se añade un pequeño cuadrado de costado b/2, para completar el cuadrado.

Para conservar la igualdad, se debe hacer lo mismo con el área c.

El área del cuadrado es $c + \frac {b^2} {4} \,$ , por lo tanto su costado mide la raíz cuadrada de esta cantidad. Restándole $b \over 2 \,$ , obtenemos el valor de x (en las figuras, b = 4, y x = 3).

Este método no permite encontrar las soluciones negativas, y si son ambas positivas, sólo se obtiene la que lleva la raíz con el signo +.

[editar] Solución mediante cambio de variable

Una manera sencilla de resolver una ecuación de segundo grado (y también de tercer y cuarto grado) es aplicar un cambio de variable. En el caso de la ecuación de segundo grado del tipo $a x^2 + b x + c = 0 \,$ , el cambio de variable necesario es del tipo $x = t + n \,$ .

Aplicando el cambio de variable anterior, obtenemos la ecuación $a (t+n)^2 + b (t+n) +c = 0 \,$

y, desarrollándola, queda $a t^2 + (2 a n + b) t + a n^2 + b n +c = 0 \,$ (1).

Ahora debemos reducir la ecuación obtenida a un caso conocido que sepamos resolver. Es evidente que las ecuaciones de segundo grado del tipo $x^2 = K \,$ se resuelven de forma directa extrayendo la raíz cuadrada de ambos términos y cuya solución general es del tipo $x = \pm \sqrt {K} \,$ .

Para poder transformar nuestra ecuación (1) en una ecuación con el término de primer grado igual a cero, debemos forzar a que $2 a n + b = 0 \,$ , es decir $n = -\frac {b} {2 a} \,$

Sustituyendo en (1) queda $a t^2 -\frac {b^2} {4 a} + c =0 \,$ . (2)

Esta nueva ecuación está en la forma $t^2 = K \,$ que era lo que pretendíamos lograr con el cambio de variable, y que, como ya se ha dicho, tiene una solución inmediata del tipo $t = \pm \sqrt {K} \,$

Por tanto, despejando la variable $t \,$ en la ecuación (2), queda $t = \pm \frac { \sqrt {b^2 - 4 a c}} {2 a}$

Dado que $x = t + n \,$ , y que $n = -\frac {b} {2 a} \,$ , obtenemos la solución de la ecuación original con variable en $x \,$ , que es

$x = -\frac {b} {2 a} \ \pm \frac {\sqrt {b^2 - 4 a c}} {2 a}$

El "truco" de esta demostración, consiste, por tanto, en aplicar un cambio de variable que reduce la ecuación de segundo grado general a otra ecuación más sencilla y de solución inmediata.

[editar] Obtención de la abscisa del vertice por derivadas

Tomando en cuenta el concepto de tangente y derivadas, podemos hallar el valor de abcisas correspondiente al vertice de dicha función cuadrática.

Sabiendo la representación grafica de una parabola, afirmamos que dada una función $a x^2 + b x + c = f(x) \,$ su derivada prima $f ' (x) \,$ será igual a cero.

Derivando dicha función obtenemos:

$f ' (x) = 2 a x + b \,$

si $0 = 2 a x + b \,$ entonces $\frac {-b} {2 a} = X$

Entonces el punto en que la función cuadrática posee una recta tangente de pendiente 0(conocido como minimo/maximo relativo) será $\frac {-b} {2 a} = X$

[editar] Historia

La solución de las ecuaciones de segundo grado fue introducida a europa por el matemático judeoespañol Abraham bar Hiyya, en su Liber embadorum.

[editar] Enlaces externos

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Categorías: Álgebra | Funciones reales