Tangente

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En matemáticas, la palabra tangente tiene dos significados diferentes, pero etimológicamente relacionados: uno en geometría y otro en trigonometría

[editar] Geometría

Sea C una curva, y A un punto de esta. Se supone que A es un punto regular de la curva, es decir que no es un punto anguloso: La curva no cambia repentinamente de dirección en A.

La tangente a C en A es la recta T_A que pasa por A y que tiene la misma dirección que C alrededor de A.

La tangente es la posición límite de la recta (AM) (llamada cuerda de la curva), cuando M es un punto de C que se aproxima indefinidamente al punto A (M se desplaza sucesivamente por M₁, M₂, M₃, M₄ ...)

Si C representa una función f (no es el caso en el gráfico precedente), entonces la recta (AM) tendrá como coeficiente director (o pendiente)

$\frac {f(x) - f(a)} {x - a}$ , donde a es la abscisa de A y x la de M.

Por lo tanto, la pendiente de la tangente T_A será:

$\lim_{x \to a} \frac {f(x) - f(a)} {x - a}$

Es, por definición, f '(a), el número derivado de f en a.

La ecuación de la tangente es T_a: y = f '(a)·(x - a) + f(a)

La recta ortogonal a la tangente T_A que pasa por el punto (a, f(a)) se denomina recta normal y su pendiente, en un sistema de coordenadas ortonormales, es dada por $\frac {-1} {f'(a)}$ .
Su ecuación es : y = - (x - a)/f '(a) + f(a) suponiendo claro está que f'(a) ≠ 0. Esta recta no interviene en el estudio general de las funciones pero sí en problemas geométricos relacionados con las cónicas, como por ejemplo para determinar el punto focal de una parábola.

[editar] Trigonometría

Gráfico de la función tangente.

En trigonometría y matemáticas la tangente es una función definida como:

$\,\tan x = \frac{\,\sin x}{\,\cos x}$

Es llamada así porque puede ser definida como la longitud de cierto segmento de una tangente (en sentido geométrico) trazada en un círculo de radio unitario. Es más fácil de definir en el contexto de un plano Cartesiano. Si se construye un círculo de radio unitario centrado en el origen, la línea tangente al círculo en el punto P = (1,0), y el rayo proveniente del origen a un ángulo θ con respecto del eje x, entonces el rayo intersecta la recta en un punto Q. La tangente en sentido trigonométrico es la longitud de la línea entre los puntos P y Q. Si el rayo no intersecta la línea, la tangente (función) de θ es infinito.