Ecuación diferencial
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Una ecuación diferencial es una ecuación en la que intervienen derivadas de una o más funciones.
Según el número de derivadas, las ecuaciones diferenciales se dividen en:
- Ecuaciones diferenciales ordinarias: aquellas que contienen derivadas respecto a una sola variable independiente.
- Ecuaciones en derivadas parciales: aquellas que contienen derivadas respecto a dos o más variables.
Ejemplos:
- es una ecuación diferencial ordinaria, donde es la variable dependiente, la variable independiente e es la derivada de con respecto a
- La expresión es una ecuación en derivadas parciales
La resolución de ecuaciones diferenciales es un tipo de problema matemático consistente en buscar una función de cumpla determinada ecuación diferencial.
Tabla de contenidos |
[editar] Orden de la ecuación
Se llama orden de la ecuación al orden de la derivada más alta que aparece en la ecuación.
[editar] Grado de la ecuación
Se llama grado de la ecuación al exponente de la derivada cuyo orden de la ecuación sea la derivada más alta. La ecuación debe tener una forma polinómica, de no ser así se considera que no tiene grado
Se dice que una ecuación es lineal si tiene la forma:
es decir:
- Ni la función ni sus derivadas están elevadas a ninguna potencia distinta de uno
- En cada coeficiente que aparece multiplicándolas, sólo interviene la variable independiente.
Ejemplos:
- y' = y es una ecuación diferencial ordinaria lineal de primer orden, tiene como soluciones , con k un número real cualquiera.
- y'' + y = 0 es una ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden, tiene como soluciones y = f(x) = acos(x) + bsin(x), con a y b reales.
- y'' − y = 0 es una ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden, tiene como soluciones y = f(x) = acosh(x) + bsinh(x), con a y b reales.
[editar] Tipos de soluciones
Una solución de una ecuación diferencial es una función que al reemplazar a la variable, en cada caso con las derivaciones correspondientes, verifica la ecuación.
Hay tres tipos de soluciones
Solución General: Una solución de tipo genérico, expresada con una o más constantes. La solución general es un haz de curvas. Tiene un orden de infinitud de acuerdo a su cantidad de constantes esenciales. Una constante corresponde a una familia simplemente infinita, dos constantes a una familia doblemente infinita, etc.
->Es muy importante en la práctica conocer que la solución general se logra como combinación lineal de las soluciones (tantas como el orden de la ecuación) de la ecuación homogénea (que resulta de hacer el término no dependiente de y(x) ni de sus derivadas igual a 0) más una solución particular de la ecuación completa.
Solución Particular: Un caso particular de la solución general, en donde la constante recibe un valor específico.
Solución Singular: Una función que verifica la ecuación, pero que no es un caso de la solución general.
[editar] Usos
Ecuaciones diferenciales son muy utilizadas en todos los ramos de la ingeniería para el modelamiento de fenómenos físicos. Por ejemplo, en dinámica, la ecuación diferencial que define el movimiento de una estructura es
Donde M es la matriz que describe la masa de la estructura, C es la matriz que describe el amortiguamiento de la estructura, K es la matriz que describe la rigidez de la estructura, x es el desplazamiento de la estructura, P es el vector de fuerzas, y t indica tiempo. Esta es una ecuación de segundo grado debido a que se tiene el desplazamiento x y su primera y segunda derivada con respecto al tiempo.
[editar] Resolución de algunas ecuaciones
- Ecuación Diferencial de Primer Orden
- Ecuación lineal diferencial
- Ecuaciones totales
- Sistemas diferenciales lineales
- Ecuación de Jacobi
- Ecuación de Clairaut
[editar] Bibliografía
- Zill, Dennis G. (1995). Ecuaciones diferenciales con aplicaciones. Segunda edición. Grupo Editorial Iberoamérica. México D.F., México. ISBN 968-7270-45-4.
[editar] Véase también
- Función diferenciable