Espacio euclídeo
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Un espacio euclídeo es un espacio vectorial normado de dimensión finita en que la norma es heredada de un producto escalar.
El espacio euclídeo es el espacio matemático n-dimensional usual , una generalización de los espacios de 2 y 3 dimensiones estudiados por Euclides. Formalmente, para cada número entero no negativo n, el espacio euclídeo n-dimensional es el conjunto
junto con la función distancia obtenida mediante la siguiente definición de distancia entre dos puntos (x1, ..., xn) e (y1, ...,yn): la raíz cuadrada de Σ (xi-yi)², donde la suma es sobre i = 1, ..., n.
Esta función distancia está basada en el teorema de Pitágoras y es llamada métrica euclídea.
El término "espacio euclídeo n-dimensional" es usualmente abreviado a "n-espacio euclídeo", o sólo "n-espacio". El n-espacio euclídeo se denota por E n, aunque ℝn es bastante usado (sobreentendiendo la métrica). E 2 se dice el plano euclídeo.
Por definición, E n es un espacio métrico, y es por tanto también un espacio topológico; es el ejemplo prototípico de una n-variedad, y es de hecho una n-variedad diferenciable. Para n ≠ 4, cualquier n-variedad diferenciable que sea homeomorfa a E n es también difeomorfa a ella. El hecho sorprendente es que esto no es cierto también para n = 4, lo que fue probado por Simon Donaldson en el año 1982; los contraejemplos se llaman 4-espacios exóticos (o falsos).
Se puede decir mucho sobre la topología de E n, Pero esperaremos a una próxima edición de este artículo. Un resultado importante, el invariancia del dominio de Brouwer, es el de que cualquier subconjunto de E n que sea homeomorfo a un subconjunto abierto de E n es en sí mismo abierto. Como consecuencia inmediata de esto se tiene que E m no es homeomorfo a E n si m ≠ n -- un resultado intuitivamente "obvio" que sin embargo no es fácil de demostrar.
El n-espacio euclídeo se puede considerar también como un Espacio vectorial n-dimensional real , de hecho un Espacio de Hilbert, de manera natural. El producto interior, también llamado producto punto, de x = (x1,...,xn) e y = (y1,...,yn) está dado por
Ver también: Geometría euclídea.
