Distancia

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La distancia es una magnitud escalar que mide la relación de lejanía entre dos puntos.

En el espacio euclídeo la distancia entre dos puntos coincide con la longitud del camino más corto entre dos puntos, sin embargo, eso no nos sirve como definición formal de distancia, ya que para la definición de longitud es necesaria la de la distancia. Por eso en este artículo se acude a una definición formal de distancia. Además en espacios de geometrías más complejas el concepto de distancia y el de longitud de una curva no tienen porqué coincidir.

Tabla de contenidos

1 Definición formal
- 1.1 Distancia de un punto a un conjunto
- 1.2 Distancia entre dos conjuntos
2 Distancia (geometría)

[editar] Definición formal

Desde un punto de vista formal, para un conjunto de elementos $X$ se define distancia o métrica como cualquier función binaria $d (a, b)$ de $X \times X$ en $\mathbb{R}$ que verifique las siguientes condiciones:

No negatividad: $d(a,b)\ge 0 \ \forall a,b \in X$
Simetricidad: $d(a,b)=d(b,a) \ \forall a,b \in X$
Desigualdad triangular: $d(a,b) \le d (a,c) + d (c,b) \ \forall a,b,c \in X$
$\forall x \in X : d(x,x)=0$ .
Si $x,y \in X$ son tales que $d (x, y) = 0$ , entonces $x = y$ .

Si dejamos de exigir que se cumpla esta última condición, al concepto resultante se le denomina pseudodistancia o pseudométrica.

La distancia es el concepto fundamental de la Topología de Espacios Métricos. Un espacio métrico no es otra cosa que un par $(X, d)$ , donde $X$ es un conjunto en el que definimos una distancia $d$ .

En el caso de que tuviéramos un par $(X, d)$ y $d$ fuera una pseudodistancia sobre $X$ , entonces diríamos que tenemos un espacio pseudométrico.

Si $(X, d)$ es un espacio métrico y $E \subset X$ , podemos restringir $d$ a $E$ de la siguiente forma: $d': E \times E \longrightarrow \mathbb{R}$ de forma que si $x,y \in E$ entonces $d'(x, y) = d (x, y)$ (es decir, $d'=d|_{E \times E}$ ). La aplicación $d'$ es también una distancia sobre $d$ , y como comparte sobre $E \times E$ los mismos valores que $d$ , se denota también de la misma manera, es decir, diremos que $(E, d)$ es subespacio métrico de $(X, d)$ .

[editar] Distancia de un punto a un conjunto

Si $(X, d)$ es un espacio métrico, $E \subset X$ , $E \ne \varnothing$ y $x \in X$ , podemos definir la distancia del punto $x$ al conjunto $E$ de la siguiente manera: $d(x,E):= inf \{d(x,y): y \in E\}$ .

Es de destacar las siguientes tres cosas:

En primer lugar, en las condiciones dadas, siempre existirá esa distancia, pues $d$ tiene por dominio $X \times X$ , así que para cualquier $y \in E$ existirá un único valor real positivo $d (x, y)$ . Por la completitud de $\mathbb{R}$ y como la imagen de d está acotada inferiormente por 0, queda garantizada la existencia del ínfimo de ese conjunto, esto es, la distancia del punto al conjunto.

Si $x \in E$ entonces $d (x, E) = 0$ .

Puede ser que $d (x, E) = 0$ pero $x \notin E$ , por ejemplo si $x$ es un punto de adherencia de $E$ . De hecho, la clausura de $E$ es precisamente el conjunto de los puntos de $X$ que tienen distancia 0 a $E$ .

Los casos de distancia de un punto a una recta o de distancia de un punto a un plano no son más que casos particulares de la distancia de un punto a un conjunto, cuando se considera la distancia euclídea.

[editar] Distancia entre dos conjuntos

Si $(X, d)$ es un espacio métrico, $A \subset X$ y $B \subset X$ , $A \ne \varnothing$ , $B \ne \varnothing$ , podemos definir la distancia entre los conjuntos $A$ y $B$ de la siguiente manera: $d(A,B):= inf \{d(x,y): x \in A, y \in B\}$ .

Por la misma razón que antes, siempre está definida. Además $d (A, A) = 0$ , pero puede ocurrir que $d (A, B) = 0$ y sin embargo $A \ne B$ . Es más, podemos tener dos conjuntos cerrados cuya distancia sea 0 y sin embargo sean disjuntos, e incluso que tengan clausuras disjuntas. Por ejemplo, el conjunto $A:= \{(x,0): x \in \mathbb{R}\}$ y el conjunto $B:= \{(x,e^x): x \in \mathbb{R}\}$ . Por un lado, $A = c l (A)$ , $B = c l (B)$ y $A \cap B = \varnothing$ , y por otro $d (A, B) = 0$ .

La distancia entre dos rectas, la distancia entre dos planos, etc. no son más que casos particulares de la distancia entre dos conjuntos cuando se considera la distancia euclídea.

[editar] Distancia (geometría)

Se denomina distancia euclídea entre dos puntos $A (x 1, y 1)$ y $B (x 2, y 2)$ del plano a la longitud del segmento de recta que tiene por extremos $A$ y $B$ . Puede calcularse así:

$d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$

La distancia entre un punto $P$ y una recta $R$ es la longitud del segmento de recta que es perpendicular a la recta $R : A x + B y + C = 0$ y la une al punto $P (x 1, y 1)$ . Puede calcularse así:

$d=\frac{Ax_1+By_1+C}{\sqrt{A^2+B^2}}$

La distancia entre dos rectas paralelas es la longitud del segmento de recta perpendicular a ambas que las une.

La distancia entre un punto $P$ y un plano $L$ es la longitud del segmento de recta perpendicular al plano $L = A x + B y + C z + D$ que lo une al punto P(x₁,y₁,z₁) y puede calcularse así: