Triángulo

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Si se refería al instrumento de percusión de metal con forma de triángulo, véase Triángulo (instrumento musical).

Un triángulo es un polígono de tres lados rectilíneos y tres ángulos.

Tabla de contenidos

1 Definiciones
2 Tipos de triángulos
3 Cálculo de la superficie de un triángulo
4 Propiedades de los triángulos.
5 Centros del triángulo
6 Véase también

[editar] Definiciones

I - Siendo A,B y C tres puntos de un plano, no alineados, se llama triángulo ABC a la intersección de los ángulos ABC, CAB y BCA...

II - Dados tres puntos no alineados, A,B y C, se llama triángulo ABC a la figura intersección entre:

El semiplano respecto de la recta AB que contiene al punto C:
El semiplano respecto de la recta AC que contiene al punto B:
El semiplano respecto de la recta BC que contiene al punto A:

[editar] Tipos de triángulos

Por la longitud de sus lados se puede clasificar:

Triángulo equilátero: Sus tres lados tienen la misma longitud y los ángulos de sus vértices miden lo mismo (60°)
Triángulo isósceles: Tiene dos lados iguales
Triángulo escaleno: Todos sus lados y todos sus ángulos son distintos.

Por la medida de sus ángulos:

Triángulo acutángulo: Es aquel cuyos tres ángulos son agudos. En particular, el triángulo equilátero es un ejemplo de triángulo acutángulo.
Triángulo rectángulo: Tiene un ángulo recto (90º). A los dos lados que forman un ángulo recto se les denomina catetos y al lado restante hipotenusa.
Triángulo obtusángulo: uno de sus ángulos es obtuso (mayor de 90º)

Triángulo oblicuángulo: Cuando no tiene un ángulo interior recto (90º), es decir que sea obtusángulo o acutángulo.

Triángulo	equilátero	isósceles	escaleno
acutángulo
rectángulo
obtusángulo

[editar] Cálculo de la superficie de un triángulo

Área del triángulo

La superficie de un triángulo se obtiene multiplicando la base por la altura (donde la altura es un segmento perpendicular que parte de la base hasta llegar al vértice opuesto) y dividiendo en dos. Siendo b la longitud de cualquiera de los lados del triángulo y h la distancia perpendicular entre la base y el vértice opuesto a esa base la superficie S queda expresada del siguiente modo:

$S =\frac{bh}{2}$

Si conocemos las longitudes de los lados del triángulo (a, b, c) es posible calcular la superficie empleando la fórmula de Herón.

$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

donde p = ½ (a + b + c) es el semiperimetro del triángulo.

Cuando el triángulo es muy "afilado" (la suma de los dos lados menores es muy similar al valor del lado mayor) la fórmula anterior es inestable numéricamente.

Rescribiendo la fórmula anterior obtenemos: (suponiendo a ≥ b ≥ c )

$S = {1\over{4}}\sqrt{(a+(b+c)) (c-(a-b)) (c+(a-b)) (a+(b-c))}$

Los paréntesis evitan la inestabilidad en la fórmula.

[editar] Propiedades de los triángulos.

Una propiedad obvia de todos los triángulos es que la suma de las longitudes de dos de sus lados es siempre mayor que la longitud del tercer lado.

Y además, los tres lados pertenecen al mismo plano.

La suma de todos los ángulos de sus vértices, en un plano, es igual a 180°.

Para cualquier triángulo rectángulo cuyos catetos midan a y b, y cuya hipotenusa mida c, se verifica que:(Teorema de Pitágoras)

a² + b² = c²

Para cualquier triangulo se verifica el Teorema del seno que demuestra que: «Los lados de un triángulo son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos»:

$\frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)}$

Para cualquier triangulo se verifica el Teorema del coseno que demuestra que: «El cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros lados menos el doble del producto de estos lados por el coseno del ángulo comprendido»:

a 2 = b 2 + c 2 - 2 b c * cos(A)

b 2 = a 2 + c 2 - 2 a c * cos(B)

c 2 = a 2 + b 2 - 2 a b * cos(C)

[editar] Centros del triángulo

Geométricamente se pueden definir varios centros en un triángulo:

Baricentro: es el punto que se encuentra en la intersección de las medianas, y equivale al centro de gravedad
Circuncentro: es el centro de la circunferencia circunscrita, aquella que pasa por los tres vértices del triángulo. Se encuentra en la intersección de las mediatrices de los lados.
Incentro: es el centro de la circunferencia inscrita, aquella que es tangente a los lados del triángulo. Se encuentra en la intersección de las bisectrices de los ángulos.
Ortocentro: es el punto que se encuentra en la intersección de las alturas.