Grupoide
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[editar] Introducción
En matemática, especialmente en categorías y en homotopía, un grupoide es un concepto que, simultaneamente, generaliza grupos, relaciones de equivalencia en conjuntos, y acciones de grupos en conjuntos. Frecuntemente son usados para capturar información acerca de objetos geométricos tales como variedades.
El término "grupoide" también es usado para un magma: un conjunto con cualquier tipo de operación binaria en él. No usaremos ese término para tal concepto en esta enciclopedia.
[editar] Definiciones
Desde un punto de vista, un grupoide es simplemente una categoría en la que todo morfismo es un isomorfismo (esto es, inversible).
[editar] Ejemplos
- Los ejemplos triviales son los discretos y de Brandt. Son relaciones de equivalencia extremales.
- Si X es un conjunto y ~ es una relación de equivalencia en X, entonces podemos formar un grupoide que representa esta relación de equivalencia como sigue: Los objetos son los elementos de X, y para cualesquiera dos elementos x y y en X, han un único morfismo desde x hasta y si y sólo si x ~ y.
[editar] Grupoides de Lie y algebroides de Lie
Al estudiar objetos geométricos, los grupoides que se presentan llevan a menudo alguna estructura diferenciable, convirtiéndose en grupoides de Lie. Éstos se pueden estudiar en términos de los algebroides de Lie, en analogía a la relación entre los grupos de Lie y las álgebras de Lie.
[editar] Véase también
[editar] Enlaces externos
- Alan Weinstein, Groupoids: unifying internal and external symmetry, Groupoids.ps o weinstein.pdf
- Parte VI de Geometric Models for Noncommutative Algebras, por A. Cannas da Silva y A. Weinstein archivo PDF.