Estructura trivial

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En topología y campos relacionados de las matemáticas, se tienen situaciones extremales, tradicionalmente subsumidas en el concepto de conjunto. Un espacio (indiscreto) discreto es un ejemplo particularmente simple de un espacio topológico o de una estructura similar, uno en el cual los puntos están ("pegados") "aislados" entre sí en cierto sentido. En el presente artículo se intenta eliminar la redundancia (cf. Discusión) y considerar estructuras más generales que las topológicas pero manteniendo la nomenclatura de "objeto" y, en particular, su género gramatical. Las formas debilitadas de algunas expresiones (pseudométrico, preorden, etc.) permiten ser coherentes con todas las estructuras triviales.

[editar] Definiciones

Dado un conjunto X:

• la Topología (in)discreta en X se define tomando (sólo X y (vacío) ø ) todos los subconjuntos de X como abiertos, y X es un espacio topológico (in)discreto si se equipa con su topología (in)discreta;

• la uniformidad (in)discreta en X se define tomando (sólo X x X) cada superconjunto de la diagonal { (x, x): x ∈ X} en X x X como un entourage, y X es un espacio uniforme (in)discreto si se equipa de su uniformidad (in)discreta.

• la pseudométrica (in)discreta en X se define dando la distancia entre cualesquiera puntos distintos x y y (como 0) como 1, y X es un espacio pseudométrico (in)discreto si se equipa de su pseudométrica (in)discreta.

• el preorden (in)discreto en X se define declarando (equivalentes) incomparables a puntos distintos, y X es un espacio preordenado (in)discreto si se equipa de su preorden (in)discreto. (El orden de especialización de todo (Espacio indiscreto)T₁). Es forzoso mencionar que el preorden discreto (o chato) es la igualdad.

• la operación parcial (in)discreta, sobre los objetos X, se define (dando el grupoide de Brandt de X, i.e. X x X = F flechas) declarando idempotente a cada punto e incombinables a puntos distintos, i.e. X = F flechas y (X, F) es una categoría (grupoide) (in)discreta si se equipa de su operación (in)discreta.

[editar] Resumen gráfico

[editar] Propiedades

La uniformidad subyacente a un espacio métrico (in)discreto es la uniformidad (in)discreta, y la topología subyacente a un espacio uniforme (in)discreto es la topología (in)discreta. El (pre)orden de especialización de un espacio (in)discreto es el preorden (in)discreto. La categoría que corresponde al preorden (in)discreto es la categoría (in)discreta.

Así, las diversas nociones de espacio (in)discreto son compatibles el uno con el otro aunque, a diferencia de la situación discreta, la relación indiscreta es convertible.

Por otra parte, la Topología subyacente a un espacio no-discreto uniforme o métrico puede ser discreta. Un ejemplo es el espacio métrico X: = { 1/n: n = 1, 2, 3... } (con métrica heredada de la recta real y dada por d(x, y) =|x - y|). Obviamente, ésta no es la métrica discreta; asimismo, este espacio no es completo y, por lo tanto, no discreto como espacio uniforme. Sin embargo, es discreto como espacio topológico. Se dice que X es topológicamente discreto pero no uniformemente discreto o métricamente discreto. Ya se ha visto que el orden discreto es el orden de especialización de todo T₁, i.e. se puede ser ordinalmente discreto y no serlo topológicamente. En lo que existe una rígida ligazón es entre orden y categoría ordenada, donde hay solamente un cambio de lenguaje. Además:

Un espacio topológico indiscreto es (quasi) compacto. Cada espacio uniforme o métrico indiscreto es completo. Combinando los dos hechos antedichos, cada espacio uniforme o métrico indiscreto es totalmente acotado. Cada espacio pseudométrico indiscreto es acotado. Cada espacio indiscreto es conexo.

Un espacio topológico es discreto si y solamente si sus singuletes son abiertos, que es el caso si y solamente si no contiene ningún punto de acumulación. Los singuletes forman una base para la topología discreta. Un espacio uniforme X es discreto si y solamente si la diagonal { (x, x): x ∈ X} es un entourage. Cada espacio topológico discreto satisface cada uno de los axiomas de separación; en particular, cada espacio discreto es Hausdorff, aka separado. Un espacio topológico discreto es compacto si y sólo si es finito. Cada espacio uniforme o métrico discreto es completo. Combinando los dos hechos antedichos, cada espacio uniforme o métrico discreto es totalmente acotado si y sólo si es finito. Cada espacio métrico discreto es acotado. Cada espacio discreto es totalmente disconexo. Cada espacio discreto no vacío es de segunda categoría.

Cualquier función de un espacio topológico a otro espacio topológico indiscreto es continua, y cualquier función de un espacio uniforme a otro espacio uniforme indiscreto es uniformemente continua. Es decir, el espacio indiscreto X es colibre sobre el conjunto X en la categoría de espacios preordenados y de funciones monótonas, en la categoría de espacios topológicos y de funciones continuas o en la categoría de espacios uniformes y de funciones uniformemente continuas.

Cualquier función de un espacio topológico discreto a otro espacio topológico es continua, y cualquier función de un espacio uniforme discreto a otro espacio uniforme es uniformemente continua. Es decir, el espacio discreto X es libre sobre el conjunto X en la categoría de espacios preordenados y de funciones monótonas, en la categoría de espacios topológicos y de funciones continuas o en la categoría de espacios uniformes y de funciones uniformemente continuas. Estos hechos son ejemplos de un fenómeno mucho más amplio, en el cual las estructuras (in)discretas generalmente son (co)libres sobre conjuntos.

La categoría más relevante a la estructura pseudométrica debe limitar los morfismos a las funciones cortas, y esta categoría tiene objetos colibres pero no tiene objetos libres (con más de un elemento). Además, el espacio métrico indiscreto es colibre y el espacio métrico discreto es libre en la categoría de espacios métricos acotados por uno y las funciones cortas. Es decir, cualquier función de un espacio métrico a otro indiscreto es corta y cualquier función de un espacio métrico discreto a otro acotado por uno es corta.

En la otra dirección, una función f de un espacio topológico Y indiscreto a un espacio X T₀ es continua si y solamente si es constante.

En la otra dirección, una función f de un espacio topológico Y a un espacio discreto X es continua si y solamente si es localmente constante en el sentido que cada punto en Y tiene una vecindad en la cual f sea constante.

[editar] Usos

Lamentablemente los indiscretos se usan demasiado poco, superados por la trivialidad de los discretos. La razón es (restrinjamos a Top) que límite de indiscretos es indiscreto, colímite de discretos es discreto, pero producto de dos discretos es discreto sin que coproducto (suma) de indiscretos sea indiscreto. Esta pequeña "ventaja" hace la diferencia, los discretos tienen una cualidad a la Kuratowski y los indiscretos sólo a la Moore.

Una estructura discreta se utiliza a menudo como la "estructura por defecto" en un conjunto que no lleve ninguna otra topología, uniformidad o métrica natural. Por ejemplo, cualquier grupo puede ser considerado como grupo topológico dándole la topología discreta, implicando que los teoremas sobre grupos topológicos se aplican a todos los grupos. De hecho, los analistas que estudian normalmente grupos topológicos pueden referir a los grupos ordinarios, no topológicos estudiados por los algebristas como "grupos discretos" para acentuar que no se asume ninguna otra estructura topológica para existir. Una variedad 0-dimensional (o una variedad diferenciable o analítica) no es nada más que un espacio topológico discreto. En el espíritu del párrafo anterior se puede, por lo tanto, visualizar a cualquier grupo discreto como un grupo de Lie 0-dimensional. Mientras que los espacios discretos no son muy emocionantes desde un punto de vista topológico, se puede construir fácilmente espacios interesantes a partir de ellos. Por ejemplo, un producto de infinitamente contables copias del espacio discreto de números naturales es homeomorfo al espacio de números irracionales, con el homeomorfismo dado por la expansión de la fracción continua. Un producto de infinitamente contables copias del espacio discreto {0.1} es homeomorfo al conjunto de Cantor y, de hecho, uniformemente homeomorfo al conjunto de Cantor si se utiliza la uniformidad producto en el producto. Este homeomorfismo viene dado por la notación ternaria de números. En las fundamentos de las matemáticas, el estudio de las propiedades de la compacidad de productos de {0.1} es central al enfoque topológico al principio del ultrafiltro, una forma débil de elección.