Igualdad matemática
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En matemáticas, dos objetos matemáticos son considerados iguales si tienen precisamente el mismo valor. Esto define un predicado binario, igualdad, y si sólo si x y y son iguales. Una equivalencia en sentido general viene dada por la construcción de una relación de equivalencia entre dos elementos. Un enunciado en que dos expresiones denotan cantidades iguales es una ecuación.
Axioma: Sean dos entidades matemáticas x y y: x = y si y sólo si x igual a y.
Consideremos un conjunto A, la igualdad es una relación que es reflexiva, simétrica, antisimétrica y transitiva. Es la única relación sobre A que posee todas estas propiedades. Eliminando el requerimiento de antisimetría conduce a la noción de relación de equivalencia. Conversamente, dada una relación de equivalencia R, podemos formar el conjunto cociente A/R, y la relación de equivalencia 'descenderá' a igualdad en A/R.
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[editar] Cálculo de predicados de primer orden con igualdad
La lógica de predicados contiene los axiomas estándar para la igualdad que formalizan la ley de Leibniz, propuestos por el filósofo Gottfried Leibniz en el siglo XVII. La idea de Leibniz era que dos cosas son idénticas si y solamente si tienen exactamente las mismas propiedades. Para formalizar esto, debemos poder decir:
- dados cualesquiera x y y, x = y si y solamente si, dado cualquier predicado P, P(x) si y sólo si P(y).
Sin embargo, en la lógica de primer orden, no podemos cuantificar sobre predicados. Así, necesitamos utilizar un esquema de axioma:
- dados cualesquiera x y y, si x es igual a y, entonces P(x) si y sólo si P(y).
Este esquema de axioma, válido para cualquier predicado P en una variable, responde solamente por una dirección de la ley de Leibniz; si x y y son iguales, entonces tienen las mismas propiedades. Podemos garantizar la otra dirección simplemente postulando:
- dado cualquier x, x es igual a x.
Entonces si x y y tienen las mismas propiedades, entonces en particular son iguales con respecto al predicado P dado por P(z) si y sólo si x = z. puesto que P(x) vale, P(y) deben también valer, luego x = y.
La relación contraria es una relación de diferencia, notada con un igual tachado: "≠"
[editar] Historia de la notación
El signo Igual o =, usado para indicar el resultado de alguna operación aritmética, fue inventado en 1557 por Robert Recorde.
Cansado de escribir "is equalle to:" (sic), Recorde empleó el símbolo (===== largo) en su trabajo Whetstone of Witte.
