Infinitud de los números primos

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Existen muchas demostraciones de que hay infinitos números primos. Aquí se muestran algunas de ellas.

[editar] Teorema de Euclides (~300 adC)

Supongamos que hay un número finito de números primos. Consideramos el producto de todos ellos y le sumamos uno. Al dividir este nuevo número por cada uno de los primos obtenemos de resto uno. Por tanto debe de ser también primo o divisible por un primo que no aparecía en la lista inicial. Llegamos a una contradicción, y por tanto el número de primos ha de ser infinito.

Existen numerosas demostraciones parecidas a ésta, y algunas de las más conocidas son las siguientes:

[editar] Reformulación de Kummer

Supóngase que existe una cantidad finita de números primos p₁ < p₂ < p₃ < ... < p_r. Sea N = p₁·p₂·p₃·...·p_r > 2. El entero N-1, al ser producto de primos, tiene un divisor p_i que también es divisor de N; así que p_i divide a N - (N-1) = 1. Esto es absurdo, por lo que tiene que haber infinitos números primos.

[editar] Demostración de Hermite

Sea n=1, 2, 3, ... y q_n el factor primo más pequeño de n! + 1 para cada n. Como q_n tiene que ser mayor que n, se deduce que esta sucesión contiene infinitos elementos distintos, y que por tanto existen infinitos números primos.

[editar] Demostración de Stieltjes

Supóngase que existe un número finito de números primos. Sea Q el producto de todos los números primos, y sean m y n dos enteros positivos con Q = mn.
Se tiene que todo número primo p divide, o bien a m, o bien a n, pero no a ambos, es decir, m y n son primos entre sí. Entonces m+n no puede tener ningún divisor primo, pero como es estrictamente mayor que 1, debe ser un número primo que no divide a Q: contradicción.

[editar] Demostración de Goldbach (1730)

Esta demostración se basa en los números de Fermat, es decir, los números de la forma :.

Lema (Goldbach, 1730): Dos números de Fermat distintos F_m y F_n son primos entre sí. (la demostración se encuentra aquí)

Para cada número de Fermat F_n, escójase un divisor primo p_n. Como los números de Fermat son primos entre sí, sabemos que dos primos cualesquiera p_m y p_n son distintos. Así, hay al menos un número primo p_n por cada número de Fermat F_n, es decir, al menos un número primo por cada número entero n

Esta demostración también es válida si se toma otra secuencia de números naturales que son primos entre sí.

[editar] Demostración de Euler

Sea Q el producto de todos los primos. Sea φ(n) la función φ de Euler definida como el número de enteros menores que n y coprimos con él. Entonces φ(Q) es igual al producto de los números que resultan de restarle 1 a cada uno de los números primos, es decir,

φ(Q) = (2-1)·(3-1)·(5-1)·(7-1)·(11-1)·... = 1·2·4·6·10·...

Uno de los números enteros coprimos con Q es 1. Aún así, hay al menos otro entero en el intervalo [2,Q] que no tiene factor común con Q. Ese entero no puede tener ningún factor primo, porque están todos en Q, así que debe ser igual a 1, con lo que se llega a una contradicción.

[editar] Demostración topológica de Fürstenberg (1955)

Defínase una topología en el conjunto de los números enteros empleando progresiones aritméticas (de -∞ a +∞). Es fácil verificar que esto genera un espacio topológico. Para cada número p sea A_p el conjunto de todos los múltiplos de p. A_p es cerrado, porque su complementario es la unión de todas las demás progresiones aritméticas con diferencia p. Ahora, sea A la unión de las progresiones A_p. Si hay un número finito de números primos, entonces A es una unión finita de conjuntos cerrados, y por tanto A es cerrado. Sin embargo, todos los números enteros, salvo -1 y 1, son múltiplo de algún número primo, así que el complementario de A es {-1, 1} que no es abierto. Esto muestra que A no es una unión finita y que existen infinitos primos.