Infinito
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En matemática el término infinito tiene varios significados, aunque todos ellos denotan que el objeto en cuestión no es finito en algún aspecto.
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[editar] Infinito en relación a conjuntos
La noción más común de infinito se refiere a cardinalidad de un conjunto.
A un conjunto finito se le puede asignar un número entero que consiste en el número de sus elementos. Por ejemplo, el conjunto {Manzana, Pera, Durazno} tiene 3 elementos. Esto significa de modo más formal que se puede establecer una biyección entre tal conjunto y el conjunto {1,2,3}:
Dicho de otra forma, es posible hacer parejas (1, Manzana), (2, Pera), (3, Durazno) de modo que cada elemento de los dos conjuntos sea usado exactamente una vez. Cuando es posible establecer tal relación "uno a uno" entre dos conjuntos se dice que ambos conjuntos tienen la misma cardinalidad, lo cual, para conjuntos finitos, equivale a que tengan el mismo número de elementos.
Un conjunto infinito es entonces un conjunto para el que no es posible hacer las construcciones anteriores. Esta definición, por el hecho de ser negativa, no es muy práctica para establecer si un conjunto es infinito o no. La primera definición positiva de conjunto infinito fue dada por Georg Cantor y se basa en la siguiente observación: Si un conjunto S es finito y T es un subconjunto propio, no es posible construir una biyección entre S y T.
Por ejemplo, si S={1,2,3,4,5,6,7,8} y T={2,4,6,8} no es posible construir una biyección entre S y T, porque de ser así tendrían la misma cardinalidad (el mismo número de elementos).
Un conjunto es infinito si es posible encontrar un subconjunto propio del mismo que tenga la misma cardinalidad que el conjunto original.
Consideremos el conjunto de los números naturales N={1,2,3,4,5,...}, el cual es un conjunto infinito. Para verificar tal afirmación es necesario encontrar un subconjunto propio y construir una biyección entre ambos. Para este caso, consideremos el conjunto de enteros positivos pares P={2,4,6,8,10,...}. El conjunto P es un subconjunto propio de N, y la regla de asignación 
es una biyección:
ya que a todo elemento de N le corresponde un único elemento de P y viceversa.
Existe toda una rama de la matemática que estudia los conjuntos infinitos. Para más información vea Número infinito.
[editar] Infinito en relación a números reales
Otro significado común de infinito es, informalmente, cota superior para el conjunto de los números reales.
El conjunto de los números reales es un conjunto ordenado, es decir, dado una pareja de números es posible determinar el mayor y el menor. Por ejemplo, si a=2 y b=7 entonces a es el número menor y b es el mayor.
Un conjunto de números reales S es acotado "por arriba" si existe un número c (la cota) tal que c es mayor que todo elemento de S. Por ejemplo, si S={π 7, 
} entonces S es un conjunto acotado, ya que el número c=10 cumple que π<10, 7<10, <10.
Cuando un conjunto no es acotado, para cualquier número c es posible encontrar 
de modo que c < x. El concepto de infinito se introduce como una cota especial para este tipo de conjuntos. Este concepto de infinito se representa con el símbolo 
.
Consideremos nuevamente el conjunto de los números pares P={2,4,6,8,10,...}. El conjunto no es acotado, porque dado cualquier número c, existe un número par mayor a P. Por ejemplo, si c=100 entonces x=200 es mayor, si c=555 entonces x=1000' es mayor. También es posible decir que la sucesión ordenada de los números pares "tiende a infinito", o que su límite es infinito.
El Cálculo y su generalización, el Análisis matemático son las ramas de la matemática que estudian los límites y el infinito en este contexto.
En ocasiones se considera al infinito como un "número especial", agregando los símbolos y 
al conjunto de números reales 
formando así el conjunto de números reales extendidos: 
. Con esta construcción el infinito se manipula de manera similar a un número, sujeto a ciertas reglas:
- Relación de orden:
para cualquier número real x. - Operaciones aritméticas entre números reales y el infinito:
y 
, 
- Si x > 0,
y 
. - Si x < 0 entonces
y 
.
- Operaciones aritméticas entre infinitos:
Nótese que muchas operaciones no están definidas (es decir, no tienen valor asignado), por ejemplo:
[editar] Infinito en informática
De manera relacionada con el infinito para números reales, algunos lenguajes de programación admiten un valor especial que recibe el nombre de infinito: valor que se puede obtener como resultado de ciertas operaciones matemáticas no realizables, tales como las descritas en el punto anterior u operaciones teóricamente posibles, pero demasiado complejas para su trabajo en el ordenador/lenguaje en cuestión. En otros lenguajes simplemente se produciría un error.
[editar] El símbolo de infinito
Los orígenes del símbolo de infinito son inciertos. Dado que la forma se asemeja a la curva lemniscata (del latín lemniscus, es decir cinta), se ha sugerido que representa un lazo cerrado. Se ha querido ver también una Banda de Möbius en su forma, aunque el símbolo se usó durante cientos de años antes de que August Möbius descubriera la banda que lleva su nombre.
También se cree posible que la forma provenga de otros símbolos alquímicos o religiosos, como por ejemplo ciertas representaciones del ouroboros.
En la literatura matemática, John Wallis es el primero en usar el símbolo para representar al infinito en su tratado De sectionibus conicus de 1655.
La representación del concepto "infinito", tiene una relación formal con el sentido del orden de las letras en el alfabeto griego. Los griegos, según parece, asignaron el primer lugar en su alfabeto a α (alfa) por ser precisamente el lugar que "Dios" merecia en su cosmogonía. De ahi que -según algún maestro de literatura de buena voluntad- todas las palabras griegas cuya letra inicial era esa tenían, de un modo u otro, relación con lo divino.
El símbolo de infinito se representa en Unicode con el carácter ∞ (U+221E).
