Modelo matemático

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Un modelo matemático es un esquema, una ecuación, un diagrama o una teoría que representa matemáticamente una situación de la realidad, como pueden ser fenómenos físicos, químicos, biológicos, etc. Un modelo matemático simplifica una parte difícil de las matemáticas, haciendo más fácil su comprensión y que engloba de manera general muchos aspectos diferentes.

Un modelo mixto operacional estadístico es una teoría o situación causal de hechos y expresado con símbolos de formato matemático. Por ejemplo las tablas de contingencia. De hecho los modelos matemáticos se construyen con varios niveles de significación y con diferentes variables. Kendall y Buckland catalogan hasta 40 tipos diferentes de modelos matemáticos. Ejemplos: Rapoport en modelo matemático e interacción social en 1961 y Bugeda en Sociología matemática en 1970. Por un principio de isomorfismo hay una equivalencia, a conseguir, entre un modelo y una teoría. Además teoría y modelo son sinónimos.

[editar] Casos específicos

[editar] Modelos matemáticos de simulación hidrológica

Los modelos matemáticos de simulación hidrológica se utilizan para estudiar situaciones extremas, difícilmente observables en la realidad, como por ejemplo los efectos de precipitaciones muy intensas y prolongadas en cuencas hidrográficas, en su estado natural, o en las que se ha intervenido con obras como canales, represas, diques de contención, puentes, etc.

Los modelos matemáticos de simulación hidrológica pueden clasificarse en los siguientes tipos:

Modelos empíricos, son los que utilizan fórmulas, lineares o no, para relacionar una o más variables independientes con la o las variables dependientes que se quieren simular.

Modelos conceptuales, son los que reproducen mediante fórmulas y algoritmos matemáticos más o menos complejos los procesos físicos que se producen en la naturaleza, desde el momento en que se inicia la precipitación pluvial sobre la cuenca hidrográfica en examen.

La cuenca hidrográfica es dividida en sub-cuencas consideradas homogéneas desde el punto de vista: del tipo de suelo, de la declividad, de su cobertura vegetal. El número y tipo de las variables hidrológicas que intervienen en el modelo son función de objetivo específico para el cual se elabora el mismo.

Los modelos más conocidos asocian las variables hidrológicas a pequeños reservorios elementales que se van llenando en la medida que se produce la precipitación, la cual puede ser diferente en las varias partes de la cuenca.

Así, el fenómeno de la interceptación de las hojas de la vegetación, se considera como un reservorio elemental, que se va llenando, hasta que su capacidad, variable según el tipo de vegetación, es sobrepasada, y en ese momento el exceso de agua es vertido al reservorio elemental siguiente, descontándose la evapotranspiración y evaporación que corresponde al intervalo de tiempo del cálculo, comensandose a saturar la capa superficial de suelo, y así por delante hasta que se satura y comienza el escurrimiento superficial que llegara hasta los primeros arroyos.

El traslado del agua en la red de drenaje es simulada con elementos propios para tal finalidad.

La suma del volumen de agua almacenado en los reservatorios elementales se constituye en la disponibilidad hídrica de la cuenca.

Modelos estocásticos, son los que utilizar relaciones o correlaciones estadísticas entre las variables independientes y las dependientes.

[editar] Modelo matemático de simulación de procesos hidráulicos

Estos modelos consisten generalmente en sistemas de ecuaciones diferenciales que describen el fenómeno hidráulico, generalmente en regímenes transitorios, que son resueltos por métodos numéricos con el auxilio de computadoras. Los casos más típicos que deben ser analizados por estos modelos son:

Comportamiento de estructuras complejas, como por ejemplo edificios de varios pisos, torres o puentes, a la acción sísmica;
Comportamiento de una onda en un canal;
Comportamiento de una estación de bombeo, o una central hidroeléctrica a la interrupción brusca del flujo.

[editar] Modelo matemático de optimización

Los modelos matemáticos de optimización son ampliamente utilizados en diversas ramas de la ingeniería para resolver problemas que por su naturaleza son indeterminados, es decir presentan más de una solución posible.

La definición de cual de las múltiples opciones utilizar se hace con el auxilio de una función objetivo. La función objetivo generalmente tiene un carácter económico.

Los algoritmos matemáticos usados para optimizar funciones objetivo son, entre otros: la programación lineal, la programación dinámica.