Raíz cúbica

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Representación gráfica de la función: y = $\sqrt[3]{x}$

En matemáticas, la raíz cúbica ( $\sqrt[3]{ }$ ) de un número, x, es el valor numérico y tal que al ser al multiplicado tres veces por si mismo da como valor x. Por ejemplo, la raíz cúbica de 27 es 3, ya que 3 × 3 × 3 = 27. En general, un número real pose tres raices cúbicas, una correspondiente a un número real, y las otras dos a números complejos. Por ejemplo las raices cúbicas de 8 son:

$\sqrt[3]{8} = \begin{cases} \ \ 2 \\ -1+i\sqrt{3} \\ -1-i\sqrt{3} \end{cases}$

La operación de averiguar la raíz cúbica de un número es una operación asociativa con la potenciación y distributiva con la multiplicación y división, pero no es asociativa o asociativa con la suma o con la resta.

Tabla de contenidos

1 Definición Formal
- 1.1 Números reales
- 1.2 Números Complejos
2 La raíz cúbica en una calculadora de mano
3 Véase también

[editar] Definición Formal

Las raices cúbicas de un número x son números y que satisfacen la ecuación

$y^3 = x\,$

[editar] Números reales

Si x e y son reales, entonces existe una única solución tal que la ecuación tiene además una única solución, y ésta corresponde a un número real. Si se emplea esta definición, la raíz cúbica de un número negativo es también un número negativo. De esta forma el principio de la raíz cúbica de x es representada igualmente por

$\sqrt[3]{x} = x^{1\over3}$

Si x e y son ambos complejos, entones se puede decir que posee tres soluciones (si x es no nulo) y así xtiene tres raices cúbicas. Un número real y dos complejas, en la forma de par [[complejo

conjugado|conjugado]]. Este echo deja interesantes resultados dentro de las matemáticas.

Por ejemplo, las raices del número uno son:

$\sqrt[3]{1} = \begin{cases} \ \ 1 \\ -\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i \\ -\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i \end{cases}$

Estas dos raices se relacionan con todas las otras raices cúbicas de otros números. Si un número es raíz cúbica de un número real las raices cúbicas pueden ser calculadas multiplicando el número por las raices de la raíz cúbica de uno.

[editar] Números Complejos

Para los números complejos, el principio de las raices cúbicas se define como:

$x^{1\over3} = \exp \left( {\ln{x}\over3} \right)$

Donde ln(x) es la rama principal del logaritmo natural. Si se escribe x como

$x = r \exp(i \theta)\,$

Donde r es un número real positivo y ? cae en el rango

$-\pi < \theta \le \pi$ ,

entonces la raíz cúbica es

$\sqrt[3]{x} = \sqrt[3]{r}\exp \left( {i\theta \over 3} \right)$ .

Esto significa que en coordendas polares al tomar la raíz cúbica de de un número complejo se está tomado la raíz cúbica del radio y el ángulo polar se está dividiendo en tres partes de tal forma que define las tres raices. Con esta definición, la raíz cúbica de un número negativo es un número complejo, y por ejemplo $\sqrt[3]{-8}$ no será $- 2$ , pero sin embargo $1 + i\sqrt{3}$ . En aquellos programas que aceptan resultados imaginarios (tales como Mathematica), el grafo de la raíz cúbica de x en el plano de los números reales dará como resultados valores negativos de la raíz por igual.

[editar] La raíz cúbica en una calculadora de mano

Procedente de la siguiente identidad:

$\frac{1}{3} = \frac{1}{2^2} \left(1 + \frac{1}{2^2}\right) \left(1 + \frac{1}{2^4}\right) \left(1 + \frac{1}{2^8}\right) \left(1 + \frac{1}{2^{16}}\right) \dots$ ,

Existe un método simple para poder calcular la raíz cúbica de un número en una calculadora no-científica, la cual requiere sólo las operaciones aritméticas (botones en el caso de calculadoras) de multiplicación y raíz cuadrada. No se require además la memoria. Se describe a continuación:

Presiona el botón de raíz cuadrada, dos veces.
Presiona el botón de multiplicación.
Presiona el botón de raíz cuadrada dos veces.
Presiona el botón de multiplicación.
Presiona el botón de raíz cuadrada cuatro veces.
Presiona el botón de multiplicación.
Presiona el botón de raíz cuadrada cuatro veces.
Presiona el botón de multiplicación ...

El proceso se continúa hasta que el número que hay en la pantalla permanece sin cambiar en la pantalla, esto es así debido a que tiene que aparecer 1 o un número tal que 0,9999999 ... (esto significa que se ha llegado al límite de la precisión de la calculadora). En este momento se presiona el botón de raíz cuadrada una vez más y el número que aparece en la pantalla corresponderá la mejor aprroximación que la calculadora puede proporcionar de la raíz cúbica del número original. En el método anterior si se reemplaza el botón de multiplicación por el de división, el algoritmo, en lugar de averiguar la raíz cúbica se averigua la raíz quinta.