Recta de Euler
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La recta de Euler es una recta que pasa por el ortocentro, el circuncentro y el baricentro de un triángulo.
[editar] Teorema
Sea ABC un triángulo, G su baricentro, O su circuncentro, y H su ortocentro.
Entonces estos tres puntos están alineados.
La recta que los contiene se llama recta de Euler (en rojo en la figura).
[editar] Prueba
Se construye alrededor de ABC un triángulo A'B'C' tal que A, B y C sean los centros de [B'C'], [A'C'] y [A'B'] respectivamente, y que los lados sean dos por dos paralelos: (A'B') // (AB) y que cada lado sea el doble de el correspondiente por ej: A'B'=2AB
No es difícil ver que estos dos triángulos comparten las mismas medianas y por lo tanto el mismo baricentro. Además las alturas de ABC son las mediatrices de A'B'C', por consiguiente H es el circuncentro de A'B'C'. Sea H la homotecia de centro G y de razón -2. Entonces H(A) = A', H(B) = B' y H(C) = C', como propiedad del baricentro del triángulo (G está situado en las medianas a dos tercios del camino a partir de los vértices).
Las homotecias conservan entre otras cosas la equidistancia; en consecuencia conservan también las mediatrices y el circuncentro, en el sentido que la imagen del circuncentro de ABC es el circuncentro de la imagen del triángulo ABC, aquí de A'B'C'; o sea h(O) = H, por lo tanto tenemos la igualdad de vectores: GH = -2GO lo que implica que O , G y H están alineados.
