Relación de orden

De Wikipedia, la enciclopedia libre

En teoría de conjuntos, se dice que una relación R en un conjunto A es de orden si tiene las propiedades:

Reflexiva: dado cualquier a pertenenciente al conjunto A está relacionado consigo mismo; $aRa \forall a \in A$

Antisimétrica: dados cualesquiera a y b pertenecientes al conjunto A, a está relacionado con b y b está relacionado con a si y sólo si a es igual a b; $aRb , bRa \iff a = b$

Transitiva: dados cualesquiera a, b y c pertenecientes al conjunto A, si a está relacionado con b, y b está relacionado con c, entonces a está relacionado con c: $aRb , bRc \Rightarrow aRc$

Si tenemos una relación de orden R en el conjunto A, podremos utilizar el símbolo $\le$ para su notación. Un conjunto ordenado se puede denotar por $( A, \le )$ .

[editar] Ejemplo

¿Existe una relación de orden en los números naturales? (Siendo ℕ = {1, 2, 3...})

Propiedad reflexiva: $x \le x \forall x\in \mathbb{N}; x = x$ ; cierto por definición.

Propiedad antisimétrica: $xRy \iff x = y, \exists c/ x = y + c$

$yRx \iff y = x, \exists c'/ x = y + c'$

Para que esto se cumpla, c y c' tienen que ser 0, que no es un número natural, por tanto la única posibilidad es que x = y, cumpliéndose así la propiedad antisimétrica.

Propiedad transitiva: $y = x + c, z = y + c' \Rightarrow z = x + c + c' \Rightarrow zRx$

Por tanto, existe una relación de orden total entre los números naturales.

[editar] Tipos de relaciones de orden

Dada pues una relación de orden $\le$ , diremos que se trata de una relación de orden total si dados dos elementos cualesquiera a y b pertenecientes al conjunto A, o bien a es menor o igual que b o bien b es menor o igual que a: $a\le b , b\le a \forall a,b \in A$ . Entonces, por ejemplo, la relación existente entre los números naturales es de orden total porque siempre se pueden relacionar entre sí.

Si por el contrario, si esta propiedad no se verifica, diremos que se trata de un conjunto con una relación de orden parcial. Por ejemplo:

Sea un conjunto no vacío X = { 1, 2, 3, 4}

Sea P(X) el conjunto partes de X, P(X) = { {1}, {2}, {3}, {4}, {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}...}

Dentro de P(X) podemos definir por ejemplo los conjuntos A = {{1, 2}} y B= {{2, 3}}, de manera que $A, B \in P(X)$ , pero no se cumple que $A \le B, B \le A$ , pues no están relacionados.