Teoría de Galois
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[editar] El enfoque de la teoría de Galois usando el grupo de permutaciones
Si tenemos un polinomio puede suceder que algunas de sus raíces estén digamos que "conectadas" mediante varias ecuaciones algebraicas, que cumplan dichas ecuaciones. Por ejemplo, puede suceder que para dos de las raíces, digamos A y B, la ecuación A2 + 5B3 = 7 sea cierta. La idea central de la teoría de Galois es el considerar aquellas permutaciones (o arreglos) de las raíces que tengan la propiedad de que cualquier ecuación algebraica satisfecha por ellas sea satisfecha también tras la permutación o el arreglo. Es importante señalar que nos restringimos a ecuaciones algebraicas cuyos coeficientes son números racionales. (Se pueden especificar ciertos cuerpos para los coeficientes, pero en los ejemplos de abajo serán los números racionales los que usemos.)
El conjunto de tales permutaciones formarán un grupo de permutaciones, también llamado Grupo de Galois del polinomio (sobre los números racionales). Un ejemplo:
[editar] Primer ejemplo — ecuación cuadrática
Sea la ecuación cuadrática
- x2 − 4x + 1 = 0.
Mediante el uso de la fórmula para la ecuación cuadrática sabemos que sus dos raíces son
- A = 2 + √3, y
- B = 2 − √3.
Algunas de las ecuaciones algebraicas que satisfacen A y B son
- A + B = 4, y
- AB = 1.
En cada una de estas ecuaciones es claro que si intercambiamos los papeles de A y B obtenemos ecuaciones válidas. Pero además esto es cierto, aunque menos obvio, para cualquier ecuación algebraica que satisfacen A y B. Para probarlo se requiere de la teoría de los polinomios simétricos.
Concluimos que el grupo de Galois del polinomio x2 − 4x + 1 consiste en dos permutaciones: la identidad que deja A y B quietas, y la transposición, que intercambia A y B. Como grupo, es isomorfo al grupo cíclico de orden dos, denotado Z/2Z.
Podríamos plantear la objeción de que existe esta otra ecuación satisfecha por A y B:
- A − B − 2√3 = 0,
pero que no es cierta cuando intercambiamos los papeles. Sin embargo hemos de observar que no nos importa pues sus coeficientes no son racionales; √3 es irracional.
De forma parecida podemos hablar de cualquier polinomio cuadrático ax2 + bx + c, donde a, b y c son números racionales.
- Si el polinomio tiene sólo una raíz, por ejemplo x2 − 4x + 4 = (x−2)2, entonces el grupo de Galois es trivial; esto es, contiene sólo a la permutación identidad.
- Si tiene dos distintas raíces racionales, por ejemplo x2 − 3x + 2 = (x−2)(x−1), el grupo es de nuevo trivial.
- Si tiene dos raíces irracionales (inclusive el caso en el que ambas son números complejos), entonces el grupo de Galois contiene dos permutaciones, como en el ejemplo anterior.
