Teoria de Galois

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Em matemática, Teoria de Galois é um ramo da álgebra abstrata.

No nível mais básico, ela usa grupo de permutações para descrever como as várias raízes de uma certa equação polinomial estão relacionadas umas com as outras. Este foi o ponto-de-vista original de Évariste Galois.

A abordagem moderna da Teoria de Galois, desenvolvida por Richard Dedekind, Leopold Kronecker e Emil Artin, entre outros, envolve o estudo de automorfismos de extensões de corpos.

Uma abstração além da Teoria de Galois é conseguida pela teoria das conexões de Galois.

[editar] Aplicações nos problemas clássicos

O nascimento da teoria de Galois foi originalmente motivada pela seguinte questão, que é conhecida como o teorema de Abel-Ruffini

"Porque nenhuma formula para as raizes de uma equação polinomial de quinta ordem (ou maior) em termos de coeficiente de polinômios, usando somente as operações algébricas usuais (adição, subtração, multiplicação, divisão) e aplicação de radicais (raiz quadrada, raiz cúbica, etc)?"

A teoria de Galois não somente provê um bela resposta para esta questão, ela também explica em detalhes porque é possível resolver equações de grau 4 ou menores da forma descrita acima e porque suas soluções assumem a formas que têm.

A teoria de Galois dá uma clara explicação em questões referentes a problemas de construção com régua e compasso. Caracteriza de forma elegante as construções que podem ser executadas com este método.

Usando esta teoria, torna-se relativamente fácil responder perguntas da geometria clássica tais como:

"Quais polígonos regulares são polígonos construtíveis ?"

"Porque não é possível a trisecção de um dado ângulo ?"

[editar] A abordagem de permutação de grupo na teoria Galois

Se é dado um polinômio, pode acontecer que algumas de suas raízes são a concatenação por várias equações algébricas. Por exemplo, dado duas raízes A e B de um dado polinômio, a equação A² + 5B³ = 7 as conectas. A idéia central da teoria de Galois é considerar que esta permutações (ou rearanjos) desta raízes tem propriedades que qualquer equação algébrica satisfeitas pelas raízes é ainda satisfeita depois destas raízes terem sido permutadas. Um importante pré-requisito é que ficamos restritos a equações algébricas cujos os coeficientes são números racionais. (Poderíamos ao invés disto especificar um certo corpo no qual os coeficientes devem se restringir, mas para um simples exemplo abaixo nos iremos restringirmo-nos ao corpo dos números racionais.)

Estas permutações juntas formam um grupo de permutação, também conhecido como grupo Galois de polinômios (em relação aos números racionais). Isto pode ser muito elucidado pela utilização de um exemplo.

[editar] Primeiro exemplo — uma equação quadrática

Considere a equação quadrática

x² − 4x + 1 = 0.

Pelo uso da equação quadrática, nos podemos encontrar que suas raízes são:

A = 2 + √3,   e

B = 2 − √3.

Exemplos de equações algébricas satisfeitas por A e B incluem

A + B = 4,   e

AB = 1.

Obviamente, e ambas destas equações, se nos trocarmos o A e B, obteremos outras expressões verdadeiras. Por exemplo, a equação A + B = 4 torna-se simplesmente B + A = 4. Alem disto, é verdadeiro, mas muito menos obvio, que isto é válido para cada possível equação algébrica satisfeita por A e B; para provar isto é requerido a teoria dos polinômios simétricos

Conclui-se que os grupos de Galois do polinômio x² − 4x + 1 consiste das duas permutações: a permutação identidade a qual deixa A e B inalterado, e a permutação de transposição a qual alterna A e B. Como um grupo, ele é isomórfico para o grupo cíclico de ordem dois, representado por Z/2Z.

Deve-se ainda levantar a objeção que A e B são relacionados ainda a outra equações algébricas,

A − B − 2√3 = 0,

a qual não é mais verdadeira quando A e B são trocados. Porem, esta equação não nos interessa, porque ela não possui coeficientes racionais; em particular, √3 não é racional.

Uma discussão similar aplica-se a qualquer polinômio quadrático ax² + bx + c, onde a, b e c são números racionais.

• Se o polinômio tem somente uma raiz, por exemplo x² − 4x + 4 = (x−2)², então o grupo de Galois é trivial; isto é, ele contem unicamente uma permutação idêntica.
• Se ele tem duas raízes racionais, por exemplo x² − 3x + 2 = (x−2)(x−1), o grupo de Galois é novamente racional.
• Se ele tem duas raízes irracionais (incluindo o caso onde as raízes são complexas), então o grupo de Galois contem novamente duas permutações, justamente como no exemplo acima.

[editar] Segundo exemplo — um pouco mais elaborado

Considere o polinômio

x⁴ − 10 x² + 1,

que pode também ser escrito como

(x² − 5)² − 24.

Nos desejamos descrever o grupo de Galois deste polinômio, novamente em relação ao corpo dos números racionais. O polinômio tem quatro raízes:

A = √2 + √3,

B = √2 − √3,

C = −√2 + √3,

D = −√2 − √3.

Haverá 24 possibilidades para permutar esta 4 raízes, mas nem todas estas permutação são membros do grupo de Galois. Os membros dos grupos de Galois devem preservar qualquer equação algébrica como coeficiente racionais envolvendo A, B, C e D. Uma destas equações é

A + D = 0.

Porem a permutação

(A, B, C, D) → (A, B, D, C)

não é permitida, porque isto transforma a equação válida A + D = 0 na equação A + C = 0, a qual é invalida porque A + C = 2√3 ≠ 0.

Outra equação que as raízes da equação satisfazem é

(A + B)² = 8.

Esta excluirá outras permutações, tais como:

(A, B, C, D) → (A, C, B, D).

Continuando neste processo, nos descobrimos que únicas permutações remanescente (satisfazendo ambas equação simultâneas) são:

(A, B, C, D) → (A, B, C, D)

(A, B, C, D) → (C, D, A, B)

(A, B, C, D) → (B, A, D, C)

(A, B, C, D) → (D, C, B, A),

e o grupo de Galois é isomórfico para o grupo de Klein

[editar] A abordagem moderna do teoria dos corpos

Nesta moderna abordagem, começa-se com um a extensão de corpo L/K, e examina-se o automorfismo do grupo do corpo de L/K. Veja o artigo em Grupo de Galois para maiores explicações e exemplos.

A ligação entre as duas abordagem será descrita a seguir. Os coeficientes do polinômio em questão devem ser escolhidos do corpo base K. O maior corpo L deve ser corpo obtido pela união das raízes do polinômio em questão com o corpo base. Qualquer permutação das raízes que respeite as equações algébricas como descrita acima origem a um automorfismo de L/K. e vice-versa.

No primeiro exemplo acima, estávamos estudando a extensão Q(√3)/Q, onde Q é o corpo do número racional, e Q(√3) é o corpo obtido de Q pela adjunção √3. No segundo exemplo, nos estávamos estudando a extensão Q(A,B,C,D)/Q.