Algorytm Euklidesa

Z Wikipedii

Algorytm Euklidesa (metoda kolejnych dzieleń) to algorytm znajdowania największego wspólnego dzielnika (NWD) dwóch różnych liczb naturalnych. Nie wymaga rozkładania liczb na czynniki pierwsze. Faktycznie algorytm wymyślił Eudoksos z Knidos (IV wiek p.n.e.), a Euklides jedynie zawarł go w swoim dziele Elementy.

Wykorzystywana jest w nim zależność

$NWD(a,b)=\begin{cases} a & \mbox{ dla }b=0 \\ NWD(b, a\mbox{ mod } b) & \mbox{ dla }b\ge1 \end{cases}$

Spis treści

1 Algorytm
- 1.1 Zapis w pseudokodzie
2 Przykłady
- 2.1 Obliczanie NWD
- 2.2 Sprawdzenie, czy liczby są względnie pierwsze
3 Rozszerzony algorytm Euklidesa
4 Dowód poprawności
5 Złożoność czasowa
6 Ciekawostki
7 Zobacz też

[edytuj] Algorytm

Przebieg algorytmu Euklidesa obliczania NWD liczb a i b:

oblicz c jako resztę z dzielenia a przez b
Zastąp pozycję a liczbą b, a pozycję b liczbą c
jeżeli pozycja b = 0, to szukane NWD = a, w przeciwnym wypadku przejdź do 1

Przykład: NWD(42,18)

Krok 1: (a=42, b=18)

42/18= 2 r 6, uzyskuję c=6
ustawiam a=18, b=6
b jest różne od zera, powtarzam

Krok 2:

18/6= 3 r 0, uzyskuję c=0
ustawiam a=6, b=0
b=0, wynikiem jest a, czyli NWD=6

[edytuj] Zapis w pseudokodzie

  NWD(liczba całkowita a, liczba całkowita b)
       dopóki b != 0
           c := reszta z dzielenia a przez b        
           a := b
           b := c
       zwróć a

[edytuj] Przykłady

[edytuj] Obliczanie NWD

Obliczenie największego wspólnego dzielnika liczb

		a	b	Wywołanie
	$N W D$	$1071$	$1029$	Wartości początkowe
=	$N W D$	$1029$	$42$	$NWD(1071, 1029)\ =\ NWD(1029, 1071\ \bmod\ 1029\ =\ 42)$
=	$N W D$	$42$	$21$	$NWD(1029, 42)\ =\ NWD(42, 1029\ \bmod\ 42\ =\ 21)$
=	$N W D$	$21$	$0$	$NWD(42, 21)\ =\ NWD(21, 42\ \bmod\ 21\ =\ 0)$
		$21$

[edytuj] Sprawdzenie, czy liczby są względnie pierwsze

Liczby 46406 i 36957 są względnie pierwsze, co można pokazać następująco:

a	b

46406	36957
36957	9449
9449	8610
8610	839
839	220
220	179
179	41
41	15
15	11
11	4
4	3
3	1
1	0

[edytuj] Rozszerzony algorytm Euklidesa

Jeśli przechowywana będzie informacja o kolejnych ilorazach, to będzie też można wyznaczyć liczby całkowite w równaniu a*p + b*q = NWD (a, b). Ta metoda nazywana jest rozszerzonym algorytmem Euklidesa.

Dla przykładu, obliczenia dla algorytmu Euklidesa dla liczb 174 i 18 będą wyglądać

174 / 18 = 9 r 12

18 / 12 = 1 r 6

12 / 6 = 2 r 0

lub przepisując wszystkie równania w taki sposób, by w pierwszym równaniu po prawej stronie występowała tylko suma pewnych wielokrotności liczb 174 i 18:

12 = 1 * 174 + (-9) * 18

6 = 1 * 18 + (-1) * 12

0 = 1 * 12 + (-2) * 6

Zauważmy, że w 1. równaniu po prawej stronie mamy kombinację liniową liczb 174 i 18, podobnie jak w równaniu a*p + b*q = NWD (a, b). W następnych równaniach, po prawej stronie mamy zawsze kombinację liniową liczb 174, 18 lub liczb które wystąpiły po lewej stronie we wcześniejszych równaniach.

Kluczowe dla rozszerzonego algorytmu Euklidesa staje się możliwość stopniowego zastępowania tych liczb przez kombinacje liniowe liczb wejściowych aż do otrzymania równości

NWD(a,b) = [kombinacja liniowa liczb a,b], np.

6 = 1 * 18 + (-1)*12 = 1*18 + (-1) * (1* 174 + (-9) * 18) = (-1) * 174 + 10 * 18

Zapis algorytmu w pseudokodzie:

// Zakładamy, że a > 0 i b > 0.
a0 = a
b0 = b

// Inicjalizacja. Utrzymujemy niezmienniki p*a0 + q*b0 = a oraz r*a0 + s*b0 = b
p = 1; q = 0;
r = 0; s = 1;

// algorytm
while (b != 0)
  c = a '''mod''' b
  quot = <math>\lfloor a/b \rfloor</math>
  a = b
  b = c
  new_r = p - quot * r
  new_s = q - quot * s
  p = r; q = s
  r = new_r
  s = new_s

// Wówczas NWD(a0, b0) = p*a0 + q*b0

Rekurencyjna wersja rozszerzonego algorytmu w języku SML

fun nwd2 a0 b0 =
    let fun nwd2' a b p q r s = 
            if b = 0 then (a, p, q)
            else nwd2' b (a mod b) r s (p - (a div b) * r) (q - (a div b) *s)
    in nwd2' a0 b0 1 0 0 1 end;

(* nwd2 zwraca trójkę taką, że a*p + b*q = nwd *)
val a = 108; val b = 14;
val (nwd, p, q) = nwd2 a b;

[edytuj] Dowód poprawności

Lemat: $NWD (a,b) = NWD (b, a\ mod\ b)$

Aby to wykazać, należy udowodnić, iż wspólny podzielnik liczb

a

b

jest również podzielnikiem liczby $a\ mod\ b$

Przyjmijmy:

$d = NWD (a,b) \Rightarrow a=sd,\ b=td$

$r = a\ mod\ b \Rightarrow a=pb+r$

gdzie $s,t,p\;$ są liczbami całkowitymi.

Wtedy:

$r=a-pb=sd-ptd=d(s-pt)\;$

zatem $d\;$ jest również podzielnikiem $r\;$

Z lematu wynika przez indukcję, że jeśli algorytm się zakończy, to da poprawny wynik. Pozostaje udowodnić, że się zakończy. Wystarczy w tym celu zauważyć, że $0\leqslant a\ mod\ b\leqslant b-1$ , więc w każdym kroku algorytmu wartość $b\;$ zmniejsza się przynajmniej o 1. Ponieważ nie może nigdy być ujemna, więc algorytm musi się zakończyć.