Baza (przestrzeń liniowa)
Z Wikipedii
Baza przestrzeni liniowej – pojęcie będące rozwinięciem idei układu współrzędnych kartezjańskich. Baza umożliwia wprowadzenie w przestrzeni liniowej układu współrzędnych.
Spis treści |
[edytuj] Definicja
Baza przestrzeni liniowej to maksymalny[1] zbiór wektorów liniowo niezależnych w tej przestrzeni.
Słowo maksymalny może być tu interpretowane tak: każdy inny zbiór wektorów, zawierający bazę jako swój właściwy podzbiór, jest już liniowo zależny.
W analizie funkcjonalnej, bazę zupełnej unormowanej przestrzeni liniowej określoną jak wyżej, nazywa się bazą Hamela, dla odróżnienia od innych pojęć bazy, spotykanych w przestrzeniach Banacha.
[edytuj] Inne określenia
Inne, równoważne określenia bazy:
- Jest to minimalny zbiór wektorów taki, że każdy wektor przestrzeni V jest kombinacją liniową wektorów tego zbioru. Zbiór o tej własności nazywamy zbiorem generującym przestrzeń.
- Zbiór wektorów B ⊆ V jest bazą, gdy spełnione są następujące warunki:
- wektory w B są liniowo niezależne.
- zbiór B generuje całą przestrzeń V, tzn. dowolny wektor y z przestrzeni V można przedstawić za pomocą kombinacji liniowej wektorów ze zbioru B.
- Innymi słowy: baza przestrzeni liniowej jest liniowo niezależna i cała przestrzeń jest jej powłoką liniową tego układu.
- Każdy wektor przestrzeni daje się jednoznacznie przedstawić jako kombinacja liniowa wektorów bazy. Jednoznacznie oznacza tu "tylko jednym sposobem" – jeżeli pewien wektor daje się przedstawić jako kombinacja liniowa wektorów danego zbioru na dwa różne sposoby, to ten zbiór na pewno nie jest bazą przestrzeni.
[edytuj] Przykład
Dany jest zbiór A = {(0, 1), (1, 1), (1, 0)} wektorów w przestrzeni euklidesowej R2. Zauważmy, że wektor (1, 1) można przedstawić jako:
- (1, 1) = 1·(1, 0) + 1·(0, 1) .
Wynika stąd, że A nie jest bazą przestrzeni R2.
Z drugiej strony, niech B = {(1, 1), (1, 0)} i niech (x, y) będzie dowolnym wektorem R2. Szukając przedstawienia wektora (x, y) jako kombinacji liniowej wektorów zbioru B mamy:
- (x, y) = α·(1, 1) + β·(1, 0) = (α + β, α) skąd α = y i β = x – y.
Zatem przedstawienie wektora (x, y) jako kombinacji liniowej elementów zbioru B jest jednoznaczne, co oznacza, że zbiór B jest bazą przestrzeni R2.
[edytuj] Inny przykład
Zbiór pusty jest bazą jednoelementowej przestrzeni {0}.
[edytuj] Współrzędne wektora w bazie
Niech W będzie bazą przestrzeni V, a
- v = αw1w1 + αw2w2 + ... + αwnwn
przedstawieniem wektora v w bazie W. Z definicji bazy, przedstawienie to jest jednoznaczne – biorąc inny układ skalarów (αwi) otrzymamy wektor różny od v. Oznacza to, że wektor v jest jednoznacznie wyznaczony przez reprezentujący go w bazie W układ skalarów (αwi). Układ ten nazywamy układem współrzędnych wektora v w bazie W, a same skalary współrzędnymi wektora.
[edytuj] Przykład
Z poprzedniego przykładu wynika, że współrzędne wektora (-3, 4) w bazie B są równe 4(1,1), -7(1,0). Indeksy przy współrzędnych wskazują, z którym wektorem należy łączyć daną współrzędną – zmiana kolejności współrzędnych dałaby wektor 4·(1, 0) + (-7)(1, 1) = (-3, -7).
[edytuj] Istnienie bazy
Okazuje się, że każda przestrzeń liniowa ma bazę. Dowód tego faktu przebiega różnie w zależności od tego, czy w danej przestrzeni istnieje skończony zbiór generujący tę przestrzeń, czy nie. W tym drugim przypadku należy odwołać się do lematu Kuratowskiego-Zorna. Dowód istnienia bazy nie jest konstruktywny, tzn. nie daje żadnego algorytmu na łatwe otrzymanie wektorów tworzących bazę.
Każdy zbiór liniowo niezależnych wektorów można uzupełnić tak, by otrzymać bazę przestrzeni (twierdzenie Steinitza). Na odwrót, z każdego zbioru wektorów generującego przestrzeń, można wybrać podzbiór, który jest jej bazą.
W 1984 Andreas Blass udowodnił[2], że istnienie bazy każdej przestrzeni liniowej jest równoważne z aksjomatem wyboru.
[edytuj] Wymiar przestrzeni liniowej
Wszystkie bazy danej przestrzeni liniowej są równoliczne. Fakt ten pozwala określić wymiar przestrzeni liniowej jako moc jej dowolnej bazy. Tak określony wymiar przestrzeni liniowej nazywa się często wymiarem Hamela, w odróżnieniu od innych pojęć wymiaru stosowanych w matematyce.
Przestrzeń, która ma bazę skończoną nazywamy skończeniewymiarową, w przeciwnym wypadku mówimy o przestrzeni nieskończenie wymiarowej.
[edytuj] Przestrzenie euklidesowe
Dowolna przestrzeń euklidesowa jest oczywiście skończeniewymiarowa. Jej bazę złożoną z wektorów (1, 0, 0, ..., 0), (0, 1, 0, ..., 0), ..., (0, 0, 0, ..., 1) nazywamy bazą kanoniczną lub standardową. Układ współrzędnych dowolnego wektora v = (v1, v2, ..., vn) w bazie kanonicznej pokrywa się z jego współrzędnymi w sensie przestrzeni euklidesowej.
[edytuj] Orientacja bazy
Dwie bazy uporządkowane nazwiemy zgodnie zorientowanymi, jeśli macierz przejścia między tymi bazami ma dodatni wyznacznik.
Bazę uporządkowaną nazwiemy dodatnio zorientowaną, jeśli macierz przejścia między tą bazą a bazą standardową ma dodatni wyznacznik.
[edytuj] Uogólnienia
W przestrzeniach liniowo-topologicznych częściej niż rozważane tu pojęcie bazy Hamela występuje i ważniejszą rolę odgrywa pojęcie bazy zdefiniowane jako liniowo niezależny zbiór wektorów, o tej własności, że każdy wektor jest sumą nieskończonego szeregu iloczynów wektorów bazowych przez jednoznacznie określone skalary. Dotyczy to w szczególności przestrzeni Hilberta i przestrzeni Banacha. W przypadku przestrzeni skończeniewymiarowych oba pojęcia oczywiście się pokrywają.
Przypisy
- ↑ w sensie relacji inkluzji, będącej częściowym porządkiem
- ↑ Blass, Andreas. Existence of bases implies the axiom of choice. Axiomatic set theory (Boulder, Colo., 1983), 31--33, Contemp. Math., 31, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1984.
[edytuj] Zobacz też
- otoczka liniowa,
- sympleks,
- algebra liniowa,
- przegląd zagadnień z zakresu matematyki,
- przestrzeń wielomianów.
