Twierdzenie Steinitza

Z Wikipedii

Twierdzenie Steinitza o wymianie. Twierdzenie algebry liniowej, mówiące że dowolny układ wektorów liniowo niezależnych skończeniewymiarowej przestrzeni liniowej można dopełnić do bazy tej przestrzeni wektorami wybranymi ze z góry zadanej bazy. Twierdzenie nazwane imieniem matematyka, Ernsta Steinitza.

[edytuj] Teza

Załóżmy, że $X=\lbrace v_1,\ldots ,v_n \rbrace$ jest bazą przestrzeni $V$ oraz układ wektorów $Y=\lbrace w_1,\ldots w_s \rbrace$ jest liniowo niezależny. Wtedy:

$s\leq n$
Spośród wektorów $v_1,\ldots ,v_n$ można wybrać $n - s$ wektorów, które wraz z wektorami $w_1,\ldots w_s$ tworzą bazę $V$ , czyli: $\exists_{X'\subset X} |X'|=n-s \and \langle X' \cup Y \rangle = V$

[edytuj] Dowód

Ustalmy $n$ . Dowód indukcyjny po $t = | Y |$ .

Dla $t = 0$ , $Y$ jest zbiorem pustym, więc wystarczy wziąć $X = X'$ .

Załóżmy, że twierdzenie jest prawdziwe dla wszystkich $Y$ takich, że $| Y | = t - 1$ . Pokażemy prawdziwość twierdzenia dla $| Y | = t$ .

Ustalmy $Y=\lbrace w_1,\ldots w_s\rbrace$ , $| Y | = s = t$ . Niech $|Y_1|=\lbrace w_1, \ldots w_{s-1} \rbrace$ . Z założenia indukcyjnego mamy $s-1\leq n$ oraz $\exists_{X'_1\subset X} |X'_1|=n-(s-1) \and \langle X'_1 \cup Y_1 \rangle = V$ . Aby uprościć zapis, przyjmijmy, że $X'_1=\lbrace v_1,\ldots ,v_{n-s+1} \rbrace$ .

Wówczas mamy, że $\langle X'_1 \cup Y_1 \rangle = \langle v_1,\ldots,v_{n-s+1}, w_1, \ldots w_{s-1} \rangle$ . Stąd $w_s=\alpha_1 v_1+\ldots+\alpha_{n-s+1} v_{n-s+1}+\beta_1 w_1+\ldots \beta_{s-1} w_{s-1}$ dla pewnych $α i,β i$ .

Zauważmy, że istnieje takie $i$ , że $\alpha_i\neq 0$ , gdyż w przeciwnym razie mielibyśmy $w_s=\beta_1 w_1+\ldots \beta_{s-1} w_{s-1}$ , co przeczyłoby liniowej niezależności $Y$ . Bez straty ogólności, załóżmy, że $\alpha_{n-s+1}\neq 0$ .

Wówczas mamy: $v_{n-s+1}=\alpha_{n-s+1}^{-1}( w_s-\alpha_1 v_1-\ldots-\alpha_{n-s} v_{n-s}-\beta_1 w_1-\ldots \beta_{s-1} w_{s-1})$ . Stąd $V=\langle v_1,\ldots,v_{n-s}, w_1, \ldots w_{s}\rangle$ , gdyż dla każdego $v\in V$ istnieją takie $α i',β i'$ , że $v=\alpha_1' v_1+\ldots+\alpha_{n-s+1}' v_{n-s+1}+\beta_1' w_1+\ldots \beta_{s-1}' w_{s-1}$ .

Wystarczy wziąć $X'=\lbrace v_1, \ldots, v_{n-s}\rbrace$ . Wówczas $\langle X' \cup Y\rangle=V$ .

Zauważmy, że $s - 1$ < $n$ . W przeciwnym razie, gdyby $s - 1 = n$ , mielibyśmy $X'_1=\varnothing$ , więc $\langle Y'_1\rangle = V$ , więc $w_s\in \langle Y'_1\rangle$ , co przeczy liniowej niezależności $Y' 1$ . Skoro $s - 1$ < $n$ to $s\leq n$ .

Kategoria: Algebra liniowa

We provide Linux to the World

Twierdzenie Steinitza

Z Wikipedii

[edytuj] Teza

[edytuj] Dowód

Views

nawigacja

zmiany

dla edytorów

Szukaj

W innych językach