Ciało (formalnie) rzeczywiste
Z Wikipedii
Ciało (formalnie) rzeczywiste to ciało, które posiada pewne własności algebraiczne podobne do własności ciała liczb rzeczywistych. Ciało rzeczywiste K można scharakteryzować w jeden z następujących sposobów:
nie jest sumą kwadratów w K.- jeśli jakakolwiek suma kwadratów elementów z K wynosi zero, to każdy z tych elementów musi być równy zero.
- ciało K może być liniowo uporządkowane
W przeciwnym razie, tzn. gdy np. -1 jest sumą kwadratów elementów ciała K, ciało to nazywamy nierzeczywistym.
Ciało rzeczywiście domknięte to ciało K spełniające nastepujące (równoważne) warunki:
- K jest ciałem formalnie rzeczywistym, które nie ma rozszerzenia algebraicznego będącego ciałem (formalnie) rzeczywistym.
- Istnieje porządek liniowy ≤ taki, że (K, ≤) jest ciałem uporządkowanym, w którym każdy element dodatni ma pierwiastek kwadratowy w K, i każdy wielomian nieparzystego stopnia o współczynnikach z K ma pierwiastek w K.
- Istnieje porządek liniowy ≤ taki, że (K, ≤) jest euklidesowym ciałem uporządkowanym i każdy wielomian nieparzystego stopnia o współczynnikach z K ma pierwiastek w K.
- Element -1 nie jest kwadratem w K, a ciało
jest algebraicznie domknięte.
Teorię ciał formalnie rzeczywistych i ciał uporządkowanych z wykorzystaniem istnienia domknięć rzeczywistych stworzyli E. Artin i O. Schreier w latach 1926-27, dowodząc między innymi, że:
- Każde ciało formalnie rzeczywiste ma rozszerzenie algebraiczne, które jest rzeczywiście domknięte (nazywane jego domknięciem rzeczywistym).
- Każde ciało uporządkowane ma rzeczywiste domknięcie, które wyznacza w nim dany jego porządek.
- Jeśli ciało algebraicznie domknięte C jest właściwym skończonym rozszerzeniem ciała K, to ciało K jest rzeczywiście domknięte i
.
Artin wykorzystał te wyniki do rozwiązania 17. Problemu Hilberta.
