Granica funkcji

Z Wikipedii

Ten artykuł wymaga dopracowania zgodnie z zaleceniami edycyjnymi.
Dokładniejsze informacje o tym, co należy poprawić, być może znajdziesz na stronie dyskusji tego artykułu.
Po naprawieniu wszystkich błędów można usunąć tę wiadomość.

Spis treści

1 Historia
2 Granica w punkcie
- 2.1 Granica jednostronna
- 2.2 Granica niewłaściwa
3 Granica w nieskończoności
- 3.1 Granica niewłaściwa
4 Własności
5 Zobacz też
6 Bibliografia

Granica funkcji – nieformalnie, wartość do której obrazy danej funkcji zbliżają się nieograniczenie dla argumentów dostatecznie bliskich wybranemu punktowi. Funkcjonują dwie równoważne definicje podane przez Augustina Louisa Cauchy'ego oraz Heinricha Eduarda Heinego.

[edytuj] Historia

Pojęcie to znane było intuicyjnie już w starożytności. Stosowano je wówczas do obliczania pól figur geometrycznych za pomocą tzw. metody wyczerpywania, która polegała na wpisywaniu w daną figurę geometryczną ciągu figur o znanych polach (pomysł wykorzystywany jest do dzisiaj w nieco zmodyfikowanej formie jako całka oznaczona, np. Lebesgue'a). Łaciński termin oznaczający granicę, „limes”, pojawił się w XVII wieku w pracach Newtona oraz Leibniza w związku z próbami uściślenia tego pojęcia.

Współczesna definicja granicy funkcji powstała w XIX wieku wraz z rozwojem analizy matematycznej. Pierwszą, ścisłą definicję granicy funkcji, sformułowaną za pomocą pojęć arytmetycznych, podał Cauchy, a współczesne brzmienie nadał jej Weierstrass.

[edytuj] Granica w punkcie

Funkcja $f\colon A \to \mathbb R$ określona na zbiorze $A \subseteq \mathbb R$ ma w punkcie skupienia $x 0$ tego zbioru granicę równą $g$ , co zapisuje się $f(x) \to g$ przy $x\to x_0$ lub $\lim_{x \to x_0}f(x)=g$ , gdy spełnione są warunki określone w następujących dwóch równoważnych definicjach:

definicja Heinego

dla każdego ciągu

(x n)

takiego, że $x_n \in A, x_n \ne x_0$ oraz $\lim_{n \to \infty}~x_n = x_0$ ciąg wartości funkcji

f (x n)

dąży do

g

przy $n \to \infty$ ;

definicja Cauchy'ego

dla każdej liczby $\varepsilon > 0$ istnieje liczba

δ > 0

taka, że dla każdego $x \in A$ z nierówności

0 < | x - x 0 | < δ

wynika nierówność $|f(x) - g| < \varepsilon$ ; w zapisie symbolicznym:

$\lim_{x \to x_0}~f(x) = g \iff \forall_{\varepsilon > 0}\; \exists_{\delta > 0}\; \forall_{x \in A}\; (0 < |x - x_0| < \delta \implies |f(x) - g| < \varepsilon)$ .

[edytuj] Granica jednostronna

Granica jednostronna jest wspólną nazwą dla granicy lewostronnej i prawostronnej. Wyżej rozważaną granicę nazywa się czasami w opozycji do ukazanej w tej sekcji obustronną. Jeżeli granice lewo- i prawostronna są sobie równe, to są one równe granicy obustronnej; twierdzenie odwrotne również jest prawdziwe.

Liczba $g$ jest granicą lewostronną funkcji $f$ w lewostronnym punkcie skupienia $x 0$ dziedziny, co zapisuje się $f(x) \to g$ przy $x \to x_0^-$ lub $\lim_{x \to x_0^-}~f(x)=g$ , gdy spełnione są warunki określone w następujących dwu równoważnych definicjach:

definicja Heinego: dla każdego ciągu $(x n)$ takiego, że $x_n \in A, x_n < x_0$ oraz $\lim_{n \to\infty}~x_n = x_0$ , ciąg wartości funkcji $f (x n)$ dąży do $g$ przy $n \to \infty$ ;
definicja Cauchy'ego: $\lim_{x \to x_0^-}~f(x) = g \iff \forall_{\varepsilon > 0}\; \exists_{\delta > 0}\; \forall_{x \in A}\; (x_0 - \delta < x < x_0 \implies |f(x) - g| < \varepsilon)$ .

Liczba $g$ jest granicą prawostronną funkcji $f$ w punkcie $x 0$ , będącym prawostronnym punktem skupienia dziedziny funkcji $f$ , co zapisuje się $f(x) \to g$ przy $x\to x_0^+$ lub $\lim_{x \to x_0^+}~f(x) = g$ , gdy spełnione są warunki określone w następujących dwu równoważnych definicjach:

definicja Heinego: dla każdego ciągu $(x n)$ takiego, że $x_n \in A, x_n > x_0$ oraz $\lim_{n \to \infty}~x_n = x_0$ ciąg wartości funkcji $f (x n)$ dąży do $g$ przy $n \to \infty$ ;
definicja Cauchy'ego: $\lim_{x \to x_0^+}~f(x) = g \iff \forall_{\varepsilon > 0}\; \exists_{\delta > 0}\; \forall_{x \in A}\; (x_0 < x < x_0 + \delta \implies |f(x) - g| < \varepsilon)$ .

[edytuj] Granica niewłaściwa

Funkcja $f$ ma w punkcie $x 0$ granicę niewłaściwą $\pm\infty$ , co zapisuje się $f(x) \to \pm\infty$ przy $x\to x_0$ lub $\lim_{x \to x_0}~f(x) = \pm\infty$ , gdy spełnione są warunki określone w następujących dwu równoważnych definicjach:

definicja Heinego: dla każdego ciągu $(x n)$ takiego, że $x_n \in A, x_n \ne x_0$ oraz $\lim_{n \to \infty}~x_n = x_0$ ciąg wartości funkcji $f (x n)$ dąży do $\pm\infty$ przy $n \to \infty$ ;
definicja Cauchy'ego: $\lim_{x \to x_0}~f(x) = +\infty \iff \forall_{M>0}\; \exists_{\delta > 0}\; \forall_{x \in A}\; (0 < |x - x_0| < \delta \implies f(x) > M)$; $\lim_{x \to x_0}f(x) = -\infty \iff \forall_{m < 0}\; \exists_{\delta > 0}\; \forall_{x \in A}\; (0 < |x - x_0| < \delta \implies f(x) < m)$ .

Analogicznie określa się niewłaściwe granice lewo- i prawostronną.

[edytuj] Granica w nieskończoności

Funkcja $f$ określona dla $x > a\; (x < a)$ ma w plus (minus) nieskończoności granicę $g$ , co zapisuje się $f(x) \to g$ przy $x \to \pm\infty$ lub $\lim_{x \to \pm\infty}~f(x) = g$ , gdy spełnione są warunki określone w następujących dwóch równoważnych definicjach:

definicje Heinego: dla każdego ciągu $(x n)$ takiego, że $x_n > a\; (x_n < a)$ oraz $x_n \to \pm\infty$ ciąg wartości funkcji $f (x n)$ dąży do $g$ przy $n \to \infty$ ;
definicje Cauchy'ego: $\lim_{x \to +\infty}~f(x) = g \iff \forall_{\varepsilon > 0}\; \exists_{\alpha \in \mathbb R}\; \forall_{x > \alpha}\; |f(x) - g| < \varepsilon$; $\lim_{x \to -\infty}~f(x) = g \iff\forall_{\varepsilon > 0}\; \exists_{\alpha \in \mathbb R}\; \forall_{x < \alpha}\; |f(x) - g| < \varepsilon$

[edytuj] Granica niewłaściwa

Funkcja $f$ określona na przedziale $(a, \infty)$ ma w nieskończoności granicę niewłaściwą $\pm\infty$ , co zapisuje się $f(x) \to \pm\infty$ przy $x \to \infty$ lub $\lim_{x \to \infty}~f(x) = \pm\infty$ , gdy spełnione są warunki określone w następujących dwóch równoważnych definicjach:

definicja Heinego: dla każdego ciągu $(x n)$ takiego, że $x_n \in (a;\infty)$ oraz $x_n \to \infty$ , ciąg wartości funkcji $f (x n)$ dąży do $\pm\infty$ przy $n \to \infty$ , co zapisuje się $\lim_{n \to \infty}~f(x_n) = \pm\infty$ ;
definicja Cauchy'ego: $\lim_{x \to +\infty}~f(x) = +\infty \iff \forall_{M > 0}\; \exists_{\alpha \in \mathbb R}\; \forall_{x > \alpha}\; f(x) > M$; $\lim_{x \to +\infty}~f(x) = -\infty \iff \forall_{m < 0}\; \exists_{\alpha \in \mathbb R}\;\forall_{x > \alpha}\; f(x) < m$

Analogicznie definiuje się granice niewłaściwe funkcji w $-\infty$ .

[edytuj] Własności

Jeśli funkcje $f$ i $g$ określone są na zbiorze $A \subseteq \mathbb R$ mają granice właściwe $\lim_{x \to x_0}~f(x) = a$ i $\lim_{x \to x_0}~g(x) = b$ , to:

$\lim_{x \to x_0}~(f(x) \pm g(x)) = a \pm b$ ,
$\lim_{x \to x_0}~(f(x) \cdot g(x)) = a \cdot b$ ,
$\lim_{x \to x_0}~\tfrac{f(x)}{g(x)} = \tfrac{a}{b}$ , gdy $g(x) \ne 0$ oraz $b \ne 0$ .

Uwaga: twierdzenie to jest prawdziwe również dla granic w nieskończoności.

Należy pamiętać, że twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe, np. to, że $\lim_{x \to \infty}~\tfrac{\sin x}{x} = 0$ nie oznacza, że istnieją granice $\lim_{x \to \infty}~\sin x$ czy $\lim_{x \to \infty}~\tfrac{1}{x}$ . W podanym w przykładzie granica $\lim_{x \to \infty}~\sin x$ nie istnieje, natomiast $\lim_{x \to \infty}~\tfrac{1}{x} = 0$ .

Twierdzenie o granicy funkcji złożonej.

Jeśli funkcja $f\colon A \to \mathbb R$ ma w punkcie

x 0

granicę $\lim_{x \to x_0}~f(x) = y_0$ , funkcja $h\colon B \to \mathbb R$ ma w punkcie

y 0

granicę $\lim_{y \to y_0}~h(y) = g$ , przy czym

x 0

y 0

są odpowiednio punktami skupienia zbiorów $A \cap f^{-1}(B)$ oraz

B

, przy czym $f(x) \ne y_0$ dla każdego

x

z pewnego sąsiedztwa punktu

x 0

, to $\lim_{x \to x_0}~(h\circ f)(x) = \lim_{y \to y_0}~h(y) = g$ .

Wymienione niżej własności są prawdziwe także w przypadku granic jednostronnych i w nieskończoności:

$\lim_{x \to x_0}~f(x) = \pm\infty \implies \lim_{x \to x_0}~\tfrac{1}{f(x)} = 0$ ,
$\lim_{x \to x_0}~f(x) = 0$ oraz $f(x) > 0\; \big(f(x) < 0\big)$ w pewnym sąsiedztwie $x_0 \implies \lim_{x \to x_0}~\tfrac{1}{f(x)} = \pm\infty$ ,
$\lim_{x \to x_0}~f(x) = \pm\infty$ oraz $c>0 \implies \lim_{x \to x_0}~cf(x)=\pm\infty$ ,
$\lim_{x \to x_0}~f(x) = \pm\infty$ oraz $c<0 \implies \lim_{x \to x_0}cf(x)=\mp\infty$ ,
$\lim_{x \to x_0}f(x) = \pm\infty$ oraz $0 < a \le h(x)$ w pewnym sąsiedztwie $x_0 \implies \lim_{x \to x_0}~f(x)\cdot h(x) = \pm\infty$ ,
$\lim_{x \to x_0}f(x) = \pm\infty$ oraz $h(x) \le a < 0$ w pewnym sąsiedztwie $x_0 \implies \lim_{x \to x_0}~f(x)\cdot h(x) = \mp\infty$ .