Granica ciągu
Z Wikipedii
Spis treści |
Granica ciągu – wartość, dowolnie blisko której leżą prawie wszystkie (poza skończoną liczbą) wyrazy ciągu. Każda granica jest zarazem punktem skupienia, lecz nie na odwrót.
[edytuj] Definicja
Niech będzie ciągiem liczb rzeczywistych (lub zespolonych). Wówczas, jeżeli istnieje taka liczba g, że
- ,
to nazywamy ją granicą ciągu i oznaczamy lub (nawet, gdy ciąg jest rozbieżny do , zob. niżej).
[edytuj] Zbieżność
Jeżeli istnieje (skończona) granica ciągu liczbowego, to nazywamy go zbieżnym, a jego granicę właściwą, w przeciwnym wypadku ciąg nazywa się rozbieżnym.
Niektóre ciągi liczb rzeczywistych mają własność, iż ich wyrazy „skupiają się wokół punktu w nieskończoności”, tj. wraz ze wzrostem indeksów wyrazów ciągu, zwiększają się (albo zmniejszają) prawie wszystkie jego wartości. Mówimy wówczas, że ciąg taki jest zbieżny do granicy niewłaściwej. Formalnie, mówimy że ciąg ma:
- granicę niewłaściwą w , gdy
- ;
- granicę niewłaściwą w , gdy
- .
Jeśli ciąg liczb rzeczywistych ma granicę niewłaściwą, to jest nieograniczony. Istnieją jednakże ciągi nie mające granicy właściwej ani niewłaściwej. Mogą być tak ograniczone, np. ciąg an = ( − 1)n, jak i nieograniczone, np. bn = n( − 1)n.
Ciąg dany wzorem ma dwa różne punkty skupienia, odpowiednio − 1 i 1, będące zarazem odpowiednio granicą górną oraz dolną, czyli największą i najmniejszą spośród wszystkich granic jego podciągów zbieżnych. Ciąg liczbowy jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy jego granice: górna i dolna są sobie równe.
[edytuj] Przykłady
- Granicą ciągu danego wzorem , którego pierwsze wyrazy to , jest 0.
- Wybrawszy dowolnie liczbę łatwo wskazać taką liczbę n0, dla której wszystkie odwrotności liczb większych od n0 będą się różnić od 0 o mniej niż .
- Przykładowo jeżeli , to wystaczy wziąć n0 = 10000, wówczas położone są od zera nie więcej niż .
- Granicą ciągu zdefiniowanego jako o wyrazach , jest 1.
- Dla dowolnego nietrudno wskazać taką liczbę n0, że wszystkie liczby postaci dla n > n0 będą się różnić od 1 o mniej niż .
- Dla wystaczy wziąć n0 = 1000, a wyrazy o indeksach (równe odpowiednio ) różnią się od jedynki o mniej niż 0,001.
[edytuj] Własności
- Każdy liczbowy ciąg monotoniczny i ograniczony ma granicę. Warunek ten jest w istocie jedną z wersji aksjomatu ciągłości zbioru liczb rzeczywistych.
- Jeśli ciągi (an),(bn) są ciągami zbieżnymi i oraz , to wykonalne są działania:
- ,
- ,
- ,
- o ile oraz .
[edytuj] Uogólnienia
[edytuj] Przestrzenie metryczne
Powyższa definicja i własności przenoszą się niemal bez zmian na dowolne przestrzenie metryczne, a więc w szczególności przestrzenie unormowane. Niech (X,d) będzie przestrzenią metryczną. Mówimy, że ciąg elementów tej przestrzeni jest zbieżny do , jeśli:
- .
W szczególności, jeśli jest przestrzenią unormowaną, to w powyższej definicji zastępujemy d(an,g) przez .
[edytuj] Przestrzenie topologiczne
Pojęcie granicy ciągu można rozszerzyć dalej na dowolne przestrzenie topologiczne.
Niech (X,τ) będzie przestrzenią topologiczną. Mówimy, ciąg elementów tej przestrzeni jest zbieżny do , jeśli
Uwaga: Jeżeli X nie jest przestrzenią Hausdorffa, to ciąg elementów tej przestrzeni może być zbieżny do więcej niż jednego punktu. Zbiór tych punktów nazywamy wówczas granicą ciągu. W przypadku przestrzeni Hausdorffa, granicę utożsamiamy z punktem przestrzeni do którego zbieżny jest ciąg.
[edytuj] Ciągi uogólnione
Najszerszym uogólnieniem pojęcia ciągu jest ciąg uogólniony, definiowany jako odwzorowanie zbioru skierowanego dla którego również rozważa się pojęcia granicy i punktów skupienia.