Całka Lebesgue'a

Z Wikipedii

Całka Lebesgue'a — konstrukcja matematyczna rozszerzająca pojęcie całki Riemanna na szerszą klasę funkcji, wprowadzona w 1902 r. przez francuskiego matematyka Henri Lebesgue'a. Rozszerzenie dotyczy też dziedziny na której funkcje podcałkowe mogą być określone.

Sam Lebesgue tak porównywał swoją definicję z klasyczną całką Riemanna: Wyobraźcie sobie, że należy zapłacić pewną sumę; można w tym celu wyciągać pieniądze z portmonetki po kolei aby uzbierać potrzebną kwotę albo wyjąć wszystkie naraz i wybrać odpowiednie walory. Pierwsza metoda to całka Riemanna, druga odpowiada mojemu pojęciu całki. Wyjaśnić można to następująco: w metodzie Riemanna przebiega się dziedzinę funkcji i mierzy „wysokość” wykresu po kolei w każdym miejscu, podczas gdy metoda Lebesgue'a bierze pod uwagę najpierw zbiór wartości funkcji i stosownie do tego wybiera kawałki dziedziny.

Jeżeli dla danej funkcji istnieje całka Riemanna, to jest ona równa całce Lebesgue'a tej funkcji. Jednak zasadnicza przewaga całki Lebesgue'a jako narzędzia matematycznego opisu nie polega jedynie na teoretycznie większej ogólności definicji. W praktyce najistotniejsze jest, że nowa całka współgra z pojęciem granicy punktowej ciągu funkcji i w opisie matematycznym można zamieniać kolejność operacji liczenia całki i granicy. Obecnie całka Lebesgue'a jest jednym z podstawowych narzędzi współczesnej matematyki i nauk ją wykorzystujących.

Spis treści

1 Wstęp
2 Definicja na prostej
3 Oznaczenia
4 Porównanie z całką Riemanna
- 4.1 Przykład
5 Własności
6 Przypisy
7 Bibliografia
8 Zobacz też

[edytuj] Wstęp

[edytuj] Ujęcie nieformalne i rys historyczny

Obszar „pod wykresem” funkcji

f

W uproszczeniu całkowanie oznacza obliczanie pola pod wykresem funkcji na zadanym odcinku. Choć pierwsze rachunki tego typu były przeprowadzane już przez Archimedesa w starożytności, to systematyczne podejście do tego zagadnienia i wydajne metody obliczeń zostały przedstawione w XVII wieku przez Isaaca Newtona i Gottfrieda Wilhelma Leibniza. Prawdziwie ścisły formalizm, oparty na pojęciu granicy, zawdzięczamy pracom Augustina Cauchy'ego i — przede wszystkim — Bernharda Riemanna. Idea całkowania, według tego ostatniego, polega na podziale zadanego odcinka na drobniejsze kawałki i przybliżeniu pola pod wykresem na tym kawałku za pomocą prostokąta (zob. ilustracje obok). Biorąc coraz drobniejsze podziały otrzymujemy coraz dokładniejsze przybliżenie, w granicy zaś pożądaną wartość dokładną.

Przybliżanie całki Riemanna przez pola obszaru prostokątów.

Definicja powyższa, choć dość dobrze odpowiada intuicji „pomiaru pola”, posiada również istotne ograniczenia. Najważniejsze to „mała elastyczność” operacyjna: w przypadku liczenia całek z granicy ciągu funkcji pojawiają się problemy; w szczególności całka z funkcji granicznej może w ogóle nie istnieć. Ma to pierwszorzędne znaczenie np. dla teorii szeregów Fouriera i, w konsekwencji, dla całej sfery ich zastosowań (np. w przetwarzaniu sygnałów). Inna postać tego ograniczenia to stosunkowo uboga klasa funkcji całkowalnych, tzn. takich, dla których definicja całki prowadzi do obliczenia konkretnego rezultatu (zob. przykład poniżej). Ponadto całka Riemanna może być określona jedynie w przestrzeni euklidesowej. Tymczasem całe działy matematyki — jak np. probabilistyka — opierają się na pojęciu całki dla funkcji określonych na przestrzeniach o wiele bardziej abstrakcyjnych.

Zasługą Henri Lebesgue'a było zupełnie nowe spojrzenie na proces mierzenia i zdefiniowanie pojęcia całki wolnego od powyższych mankamentów. Zgodnie z wcześniejszą ideą ogólną całka Lebesgue'a dla funkcji dodatniej ma mierzyć pole obszaru pod wykresem funkcji.

Funkcja prosta w całce Lebesgue'a — kawałki dziedziny odpowiadające zadanej wartości nie muszą już być odcinkami

Jednak zamiast — jak w całce Riemanna — dzielić dany odcinek (dziedzinę) na drobniejsze części, dokonuje się dyskretyzacji zbioru wartości funkcji. Kawałki dziedziny odpowiadające tym dyskretnym wartościom (nie muszą one wcale już być odcinkami) mierzy się za pomocą miary Lebesgue'a (dokładniejszy opis znajduje się poniżej). Odpowiednią teorię 27-letni wówczas Lebesgue przedstawił w swojej rozprawie doktorskiej „Intégrale, longueur, aire” („Całka, długość, pole”) obronionej w 1902 roku na Uniwersytecie w Nancy. Otworzyło to drogę do powstania całej dziedziny zwanej teorią miary i — niemożliwych wówczas do przewidzenia — zastosowań w matematyce i poza nią. Ceną za to nowe i bardzo silne narzędzie matematyczne jest znacznie większy podkład teoretyczny potrzebny do jego wprowadzenia.

Co ciekawe, po pewnym czasie Lebesgue przestał interesować się swoją całką, a w latach międzywojennych jego teorie najbardziej popularne były nie w Paryżu, ale — za sprawą Polskiej szkoły matematycznej — we Lwowie.^[1]

[edytuj] Przykład matematyczny

W przypadku całki Riemanna proces mierzenia tego pola jest oparty na dzieleniu dziedziny funkcji na przedziały. Podczas gdy metoda ta działa bardzo dobrze dla funkcji ciągłych, to funkcje których zbiór punktów nieciągłości nie jest miary zero, nie są całkowalne w sensie Riemanna. Co więcej, wśród tych niecałkowalnych znajdują się funkcje dość proste i często spotykane, a możliwość ich całkowania (włączenia do teorii całki) jest istotna zarówno dla teoretyków jak i dla zastosowań.

Typowym przykładem jest funkcja Dirichleta: $D: [0,1] \to \mathbb R$ zdefiniowanej następująco:

D (x) = 0

, gdy $x\in [0,1] \setminus \mathbb Q$ (jest liczbą niewymierną),

D (x) = 1

, gdy $x\in [0,1] \cap \mathbb Q$ (jest liczbą wymierną).

Zbiór liczb wymiernych jest przeliczalny, a poza tym zbiorem funkcja jest tożsamościowo równa zeru. Naturalnym jest więc oczekiwanie, że pole obszaru pod wykresem tej funkcji powinno być równe zero. W szczególności powinna istnieć możliwość zmierzenia tego pola, czyli scałkowanie funkcji D.

[edytuj] Przegląd konstrukcji

Całka Riemanna jest związana z miarą Jordana, która jest wyłącznie skończenie addytywna, to znaczy taka, że miara sumy skończonej liczby zbiorów rozłącznych jest równa sumie miar poszczególnych zbiorów. Jednym z podstawowych kroków na drodze ku rozszerzeniu pojęcia całki Riemanna na funkcje typu funkcji Dirichleta jest rozszerzenie miary Jordana do miary Lebesgue'a, która jest już przeliczalnie addytywna, tzn. taka, że własność sumowania zachodzi także dla nieskończonej ilości zbiorów rozłącznych.

Definicja całki związanej z tą miarą wymaga zmiany spojrzenia na proces mierzenia obszaru. W definicji całki Riemanna dziedzina funkcji jest dzielona na krótkie przedziały. Tymczasem przy obliczaniu całki Lebesgue'a to nie dziedzina, ale przeciwdziedzina całkowanej funkcji jest dzielona na skończenie wiele przedziałów.

Można dla ułatwienia opisu założyć, że przeciwdziedzina dodatniej funkcji $f$ jest zawarta w przedziale $(0, b)$ . Aby znaleźć przybliżenie wartości pola obszaru pod wykresem funkcji f, należy podzielić przedział $(0, b)$ na rozłączne podprzedziały przy pomocy punktów $0=a_0<a_1<\ldots<a_n<a_{n+1}=b$ .

Konstrukcja zbiorów A_i; liczby c_i zaznaczono na czerwono

Dla $i\leq n$ należy położyć $A_i=f^{-1}\big((a_i,a_{i+1}]\big)$ (rys. obok) i wybrać też liczby $c_i\in (a_i,a_{i+1})$ (na rysunku liczbom tym odpowiadają czerowne linie). Każdy z obszarów $A_i\times [0,c_i]$ ma pole, które równe jest mierze zbioru $A i$ pomnożonej przez $c i$ . Otrzymane w ten sposób obszary są parami rozłączne, można zatem oczekiwać, że suma $\sum\limits_{i=0}^n c_i\cdot\mbox{miara}(A_i)$ będzie dobrym przybliżeniem do pola obszaru pod funkcją $f$ , tym lepszym im drobniejszy był początkowy podział zbioru wartości za pomocą liczb $a i$ . W terminach matematycznych realizuje się to podejście za pomocą pojęcia funkcji prostej, to znaczy takiej, która ma tylko skończenie wiele wartości. Następnie zadaną funkcję przybliża się funkcjami prostymi.

Całka Riemanna była konstrukcją związaną nierozerwalnie z przestrzeniami euklidesowymi; metoda jej rozszerzenia użyta przez Lebesgue'a pozwala przenieść pojęcie całki na funkcje określone na ogólniejszych przestrzeniach z miarą.

W podręcznikach analizy matematycznej i teorii miary pojawia się wiele równoważnych definicji całki Lebesgue'a. Poniżej naszkicowane jest tylko jedno z popularniejszych podejść. Trochę inna, równoważna definicja znajduje się w artykule o funkcjach całkowalnych.

[edytuj] Definicja na prostej

[edytuj] Miara Lebesgue'a i funkcje mierzalne

Teoria miary powstała początkowo jako dokładna analiza pojęcia długości podzbiorów prostej rzeczywistej i, ogólniej, objętości w przestrzeni euklidesowej. Jednym z jej podstawowych zadań jest odpowiedź na pytanie które zbiory można „zmierzyć”, gdyż — jak się okazało — niemożliwe jest przypisanie miary każdemu podzbiorowi $\mathbb R$ z zachowaniem naturalnych własności dodawania tych miar i ich niezmienności ze względu na przesunięcia. Właściwym rozwiązaniem jest wybór odpowiedniej rodziny ( $σ$ -ciała) zbiorów, zwanych mierzalnymi. W praktyce wygodnie jest zakładać, że ta rodzina jest w pewien sposób zgodna z pojęciem odległości lub, ogólniej, topologią w danej przestrzeni. Oznacza to wybór rodziny zbiorów borelowskich. Ogólna teoria zbiorów mierzalnych jest dyskutowana w oddzielnych artykułach (zob. teoria miary).

Niech $\mathcal B$ będzie $σ$ -ciałem borelowskich podzbiorów prostej rzeczywistej $\mathbb R$ , a $\mathcal L$ $σ$ -ideałem zbiorów miary zero, to znaczy takich, że mogą być pokryte odcinkami o dowolnie małej łącznej długości (nie wymaga to jeszcze pojęcia pełnej miary Lebesgue'a, które dopiero wprowadzamy).
Definiujemy $σ$ -ciało zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue'a jako

$\mathcal F = \big\{ A \dot- B: A \in \mathcal B\ \and\ B\in \mathcal L \big\}$ ,

gdzie $\dot-$ oznacza operację różnicy symetrycznej. Jest to rodzina zbiorów które mało różnią się od zbiorów borelowskich.

Uwagi:

$\mathcal F$ jest najmniejszym $σ$ -ciałem zawierającym $\mathcal B \cup \mathcal L$ .
Warto zauważyć, że $\mathcal F = \{G \dot- L: L \in \mathcal L\ \and\ G$ jest zbiorem typu G_δ $}$ .

Miara Lebesgue'a to σ-addytywna miara $\lambda: \mathcal F \to [0, \infty]$ taka, że dla $a, b \in \mathbb R,\, a<b$ zachodzi $λ(a, b) = b - a$ .
Powiemy, że funkcja $f\colon \mathbb R \to \mathbb R$ jest mierzalna w sensie Lebesgue'a, jeśli przeciwobraz dowolnego zbioru otwartego jest mierzalny, tzn. $f^{-1}(U) \in \mathcal F$ dla otwartych $U \subseteq \mathbb R$ .

[edytuj] Całkowanie funkcji prostych

Funkcja prosta to funkcja $f\colon \mathbb R \to \mathbb R$ taka, że dla pewnych liczb rzeczywistych $c_1, c_2, \ldots, c_n$ i parami rozłącznych zbiorów $A_1, A_2, \ldots, A_n \in \mathcal F$ mamy

(*) $f(x) = \begin{cases} c_i & \mbox{dla } x \in A_i, \ i=1, \ldots, n \\ 0 & \mbox{dla } x \in {\mathbb R} \setminus \bigcup \limits_{i=1}^n A_i \\ \end{cases}$

dla wszystkich $x \in \mathbb R$ . Innymi słowy, funkcja prosta to funkcja o skończonym zbiorze wartości, każda zaś wartość przyjmowana jest na pewnym zbiorze mierzalnym.

Jeśli dodatkowo wiemy, że $\lambda(A_i)<\infty$ (dla $i = 1, \ldots, n$ ), to powiemy, że funkcja $f$ jest całkowalną funkcją prostą. Całkę Lebesgue'a funkcji $f$ definiujemy wówczas przez

$\int f\ d\lambda = \sum \limits_{i=1}^n c_i\lambda(A_i)$ .

Łatwo pokazać, że zarówno całkowalność jak i wartość całki dla funkcji prostych nie zależą od ich reprezentacji wzorem (*), tzn. wyboru rodziny rozłącznych zbiorów $A i$ .

[edytuj] Całkowanie funkcji mierzalnych

Całkowanie funkcji dodatnich. Przypuśćmy, że $g: \mathbb R \to [0,\infty)$ jest (dodatnią) funkcją mierzalną w sensie Lebesgue'a. Określmy

$\int g\ d\lambda := \sup \bigg\{\int f\ d\lambda: \ f$ jest całkowalną funkcją prostą taką, że $\forall_{x \in \mathbb R}\; f(x) \leq g(x) \bigg\}$ .

Jeśli $\int g\, d\lambda < \infty$ (tzn. zbiór po prawej stronie powyżej jest ograniczony), to powiemy że funkcja

g

jest całkowalna w sensie Lebesgue'a, zaś wartość $\int g\,d\lambda$ nazwiemy całką Lebesgue'a z funkcji $g$ .

Całkowanie funkcji o zmiennym znaku. Dla funkcji $g: \mathbb R \to \mathbb R$ określmy funkcje $g^+, g^-: \mathbb R \to [0,\infty)$ przez

$g^+(x) = \begin{cases} g(x), & \mbox{gdy} \quad g(x) > 0 \\ 0, & \mbox{gdy} \quad g(x) \leq 0\end{cases}$ ,

$g^-(x) = \begin{cases} -g(x), & \mbox{gdy} \quad g(x) < 0 \\ 0, & \mbox{gdy} \quad g(x)\geq 0\end{cases}$ .

Zauważmy, że

g = g + - g -

oraz

| g | = g + + g -

. Ponadto, jeśli

g

jest funkcją mierzalną, to również

g +

g -

są mierzalne.

Powiemy, że mierzalna funkcja $g: \mathbb R \to \mathbb R$ jest całkowalna w sensie Lebesgue'a wtedy i tylko wtedy, gdy obie funkcje

g +, g -

są całkowalne w sensie Lebesgue'a. Określamy wtedy też całkę Lebesgue'a z funkcji $g$ jako

$\int g\ d\lambda :=\int g^+\ d\lambda - \int g^-\ d\lambda$ .

Zauważmy, że

g

jest całkowalna wtedy i tylko wtedy, gdy funkcja

| g |

jest całkowalna.

Całkowalność na zbiorze. Niech $g\colon \mathbb R \to \mathbb R$ będzie funkcją mierzalną oraz $E \in \mathcal F$ . Mówimy, że funkcja $g$ jest całkowalna w sensie Lebesgue'a na zbiorze $E$ , jeśli funkcja $h\colon \mathbb R \to \mathbb R$ dana przez

$h(x) = \begin{cases} g(x), &\ \mbox{gdy}\ \ x \in E \\ 0, &\ \ \mbox{gdy}\ x \in \mathbb R \setminus E \\ \end{cases}$

jest całkowalna. Określamy wtedy też całkę Lebesgue'a z funkcji $g$ po zbiorze $E$ jako

$\int\limits_E g\ d\lambda :=\int h\ d\lambda$ .

Zauważmy również, że dla

g

oraz

E

danych jak powyżej, funkcja

h

jest mierzalna. Jeśli $E = \mathbb R$ , to

g = h

Funkcje zespolone. Całkę z funkcji o wartościach zespolonych wprowadza się rozważając osobno część rzeczywistą i urojoną.

[edytuj] Oznaczenia

Najczęściej stosowanym symbolem całki nieoznaczonej Lebesgue'a z funkcji $f$ jest $\int f\ d\lambda$ , zaś dla całki oznaczonej, w której całkowanie przebiega po określonym zbiorze, stosuje się zapis zbioru w indeksie dolnym tak jak powyżej.

Jednakże jeśli zbiór jest jednowymiarowy, np. przedział $[0,1]$ , m.in. z powodu równości z odpowiednią całką Riemanna oraz tradycji stosuje się również zapis $\int\limits_0^1 f\ d\lambda$ , który oznacza oczywiście $\int\limits_{[0,1]} f\ d\lambda$ . Jeśli w jednym miejscu poruszane są zagadnienia całki Riemanna i Lebesgue'a to stosuje się odpowiednio pierwszy zapis dla całki Riemanna, drugi dla Lebesgue'a.

Jeżeli miara względem której przebiega całkowanie jest znana (najczęściej jest to miara Lebesgue'a), wynika z kontekstu lub wzór jest niezależny od miary, to symbol różniczki $d λ$ jest opuszczany. Dlatego też można spotkać się np. z zapisem $\int f$ . Zastosujemy te zapisy w dalszej części artykułu, aby zwiększyć przejrzystość wzorów.

[edytuj] Porównanie z całką Riemanna

Przybliżenie całki Riemanna za pomocą sum dolnych (góra) oraz dla całki Lebesgue'a przybliżenie całkowanej funkcji za pomocą ciągu niemalejących funkcji prostych (dół)

Na rysunku obok pokazano poglądowe porównanie całek Riemanna i Lebesgue'a. W całce Riemanna podział na prostokąty pola pod wykresem jest z grubsza „dowolny”: dziedzinę dzielimy na drobne kawałki, w każdym „kawałku” wybieramy pewną wysokość prostokąta (wysokość ta to jakaś — dowolna — wartość funkcji na tym kawałku).

Typowym wyborem w praktyce jest podział równomierny na osi $x$ , jak przedstawiono na górnym rysunku obok. W całce Lebesgue'a przybliża się daną funkcję niemalejącym ciągiem funkcji prostych. Jest to typowy sposób realizacji supremum użytego w jej definicji. Chociaż graficznie wygląda to na pierwszy rzut oka podobnie, to należy zauważyć, że podział na prostokąty jest „sterowany” zbiorem wartości funkcji prostej. Co więcej, te funkcje proste możemy wybierać dość dowolnie; typowy wybór w praktyce opiera się na analizie (podziale) zbioru wartości danej funkcji podcałkowej, tak jak to opisano to we wstępie artykułu. Skutkuje to podziałem dziedziny na kawałki, które nie są już koniecznie tylko odcinkami: jeden „kawałek” może być np. sumą kilku odcinków (na rysunku obok sumy takie zaznaczono wspólnym kolorem prostokąta). W ogólności, dla mniej regularnych funkcji taki „kawałek” może mieć bardzo skomplikowaną postać i aby go „zmierzyć” wprowadza się miarę Lebesgue'a.

[edytuj] Przykład

Jeżeli funkcja podcałkowa jest dostatecznie regularna, np. ciągła, obie definicje dadzą ten sam rezultat. W przypadku mniej regularnych funkcji całka Riemanna może w ogóle nie istnieć. Na przykład za pomocą definicji Riemanna nie da się obliczyć całki z funkcji Dirichleta $D$ opisanej wyżej. Natomiast w teorii Lebesgue'a jest to zwykła funkcja prosta, przyjmująca tylko dwie wartości (0 i 1) tyle, że w sposób dość „nieregularny”. Jej całka Lebesgue'a jest równa

$\int D\; d\lambda = 0 \cdot \lambda ([0,1] \setminus \mathbb Q) + 1 \cdot \lambda ([0,1] \cap \mathbb Q) = 0,$

gdyż miara zbioru liczb wymiernych wynosi zero (jest to natychmiastowa konsekwencja definicji miary i przeliczalności zbioru $\mathbb Q$ ). W tym prostym przypadku, wychodząc od zbioru wartości, podzieliliśmy dziedzinę tylko na dwie części, a żadna z nich nie była odcinkiem.

[edytuj] Własności

Niech $E \in \mathcal F,\quad f, g: \mathbb R \to \mathbb R$ . W dalszej części rozważać będziemy funkcję $f$ obciętą do zbioru $E$ , co zapisywać będziemy po prostu przez $f$ , o ile nie doprowadzi to do niejednoznaczności zapisu.

Jeżeli $f$ jest funkcją mierzalną i ograniczoną na $E$ oraz $\lambda(E)<\infty$ , to $f$ jest całkowalna na $E$ . Dodatkowo jeżeli $f(x) \in [a,b]$ dla wszystkich $x\in E$ , to

$a\cdot \lambda(E) \leq \int\limits_{E} f \leq b\cdot \lambda (E)$ .

Całka jest funkcją monotoniczną, czyli jeżeli funkcje $f$ i $g$ są całkowalne na $E$ , to

$f \leq g \implies \int f \leq \int g$ .

Całka jest operatorem liniowym, czyli jeżeli $f, g$ są całkowalne na $E$ , to funkcja $α f + β g$ jest całkowalna na $E$ dla dowolnych $\alpha, \beta \in \mathbb R$ i zachodzi:

$\int (\alpha f+\beta g) = \alpha \int f + \beta \int g$ .

Jeżeli $λ(E) = 0$ i $f$ jest funkcją mierzalną, to ( $f$ jest całkowalna na $E$ oraz) $\int f\ = 0$ .
Jeżeli zbiór $A \subseteq E$ jest mierzalny, a $f$ jest całkowalna na $E$ , to jest ona również całkowalna na $A$ .
Jeżeli $f$ jest funkcją mierzalna, a $g$ jest całkowalna na $E$ oraz $|f| \le g$ , to funkcja $f$ też jest całkowalna.
Jeżeli funkcja $f$ jest całkowalna w sensie Lebesgue'a na przedziale $[a, b]$ oraz funkcja $h: [a,b] \to \mathbb R$ jest określona przez $h(x) = \int\limits_a^x f$ , to $h$ jest różniczkowalna prawie wszędzie i jej pochodna jest prawie wszędzie równą $f (x)$ . Na odwrót, jeżeli funkcja $F$ jest różniczkowalna w przedziale $[a, b]$ , a jej pochodna $F' = f$ jest ograniczona w przedziale $[a, b]$ , to $f$ jest całkowalna w sensie Lebesgue'a i prawdziwy jest wzór:

$F(x)-F(a) = \int\limits_a^x f$ .

Stąd też wszystkie wzory na całkowanie funkcji podstawowych w sensie Riemmana przenoszą się na całkowanie w sensie Lebesgue'a.

Przenosi się również twierdzenie Fubiniego o zamianie całki podwójnej na iterowaną. Jednak najważniejsze cechy całki Lebesgue'a są związane z kompatybilnością pojęcia całki i granicy punktowej ciągu funkcji. Mówiąc najogólniej, przy odpowiednich warunkach całka z granicy ciągu funkcji jest równa granicy ciągu całek tych funkcji. Innymi słowy można zamieniać kolejność liczenia granicy ciągu i całki funkcji. Odpowiednie własności są ujęte precyzyjnie w następujących twierdzeniach:

Żadne z tych twierdzeń nie może być sformułowane w podobnie prosty sposób dla całki Riemanna, gdyż tam granica ciągu funkcji („regularnych”, prostych) może w ogóle nie być całkowalna. Ta różnica w dużej mierze przyczyniła się do sukcesu teorii Lebesgue'a — pozornie bardziej skomplikowanej i odchodzącej od intuicyjnego pojęcia pola — i w konsekwencji do zastosowań w matematyce, fizyce i technice.

Przypisy

↑ Les lendemains de l'intégrale — Lettres à Emile Borel, recenzja: Jean-Pierre Kahane (po francusku) [1] (str. 90)

[edytuj] Bibliografia

Walter Rudin, Analiza rzeczywista i zespolona, PWN, 1986, Łódź
Ryszard Rudnicki, Wykłady z analizy matematycznej, Warszawa 2001, Wydawnictwo Naukowe PWN, ISBN 83-01-13554-9.
G. B. Folland, Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications. John Wiley & Sons.

[edytuj] Zobacz też

Kategorie: Artykuły na medal • Całki • Teoria miary

We provide Linux to the World